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【成才之路】2016年春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 高度、角度问题同步练习 新人教B版必修5一、选择题1在某测量中,A在B的北偏东55,则B在A的()A北偏西35B北偏东55C北偏东35D南偏西55答案D解析根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示55,则55.所以B在A的南偏西55.2在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60,则塔高为()A mB mC200 mD200 m答案A解析如图,设AB为山高,CD为塔高,则AB200,ADM30,ACB60BC,AMDMtan30BCtan30.CDABAM.3(2016济南一中高二期中测试)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD120,CD40 m,则电视塔的高度为()A10 mB20 mC20 mD40 m答案D解析设ABx m,则BCx m,BDx m,在BCD中,由余弦定理,得BD2BC2CD22BCCDcos120,x220x8000,x40(m)4一艘客船上午930在A处,测得灯塔S在它的北偏东30,之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行,上午1000到达B处,此时测得船与灯塔S相距8 n mile,则灯塔S在B处的()A北偏东75B南偏东15C北偏东75或南偏东15D以上方位都不对答案C解析画出示意图如图,客船半小时行驶路程为3216 n mile,AB16,又BS8,BAS30,由正弦定理,得,sinASB,ASB45或135,当ASB45时,BBS75,当ASB135时,ABS15,故选C5如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为,设为坡角,那么cos等于()ABCD答案B解析由题意,得tan,即,为锐角,cos.6已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10答案B解析如图,由题意知ACB180406080,ACBC,ABC50,605010.二、填空题7一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过 h,该船实际航程为_答案6 km解析如图,水流速和船速的合速度为v,在OAB中:OB2OA2AB22OAABcos60,OBv2 km/h.即船的实际速度为2 km/h,则经过 h,其路程为26 km.8在灯塔上面相距50 m的两点A、B,测得海内一出事渔船的俯角分别为45和60,试计算该渔船离灯塔的距离_答案25(1) m解析由题意,作出图形如图所示,设出事渔船在C处,根据在A处和B处测得的俯角分别为45和60,可知CBD30,BAC4590135,ACB1801353015,又AB50,在ABC中,由正弦定理,得,AC25()(m)出事渔船离灯塔的距离CDAC25(1)(m)三、解答题9如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km,1.414,2.449)解析在ADC中,DAC30,ADC60DAC30,所以CDAC0.1,又BCD180606060,故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BDBA,在ABC中,即AB,因此,BD0.33 km.故B、D的距离约为0.33 km.一、选择题1在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为()A20 mB30 mC40 mD60 m答案C解析设O为塔顶在地面的射影,在RtBOD中,ODB30,OB20,BD40,OD20.在RtAOD中,OAODtan6060,ABOAOB40,故选C2已知两力|F1|4 N,|F2|4 N,且夹角为45,则其合力|F|为()A4 NB4 NC4 N或4 ND以上都不对答案B解析如图,合力为,在ABC中,AC4,CD4,ACD135,由余弦定理,得AD2(4)2(4)2244cos135240,所以AD4.3一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A n mile/hB34 n mile/hC n mile/hD34 n mile/h答案A解析如图所示,在PMN中,MN34,v(n mile/h)4飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75,这时飞机与地面目标的水平距离为()A2 500(1) mB5 000 mC4 000 mD4 000 m答案A解析示意图如图,BAC30,DBC75,ACB45,AB10 000.由正弦定理,得,又cos75,BDcos752 500(1)(m)二、填空题5某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船_触礁的危险(填“有”或“无”)答案无解析如图所示,由题意在ABC中,AB30,BAC30,ABC135,ACB15,由正弦定理,得BC15()在RtBDC中,CDBC15(1)38.此船无触礁的危险6. (2016广东湛江高二期中测试)如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜率为15,向山顶前进100 m到达B后,又测得C对于山坡的斜率为45,若CD50 m,山坡对于地平面的坡度为,则cos_.答案1解析在ABC中,由正弦定理得,BC50()在BCD中,由正弦定理,得,sinBDC1.三、解答题7在某海滨城市附近海面有一台风据监测,当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南(cos)方向300 km的海面P处,并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?解析如图所示,设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t60) km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ10t60.由余弦定理,得OQ2PQ2PO22PQPOcosOPQ,由于PO300,PQ20t,cosOPQcos(45)coscos45sinsin45,故OQ2(20t)23002220t300202t29600t3002,因此202t29600t3002(10t60)2,即t236t2880,解得12t24.答:12 h后该城市开始受到台风的侵袭8. 在地面上某处,测得塔顶的仰角为,由此处向塔走30 m,测得塔顶的仰角为2,再向塔走10 m,测得塔顶的仰角为4,试求角的度数分析如图所示,求角,必须把角、2、4和边长30、10尽量集中在一个三角形中,利用方程求解解析解法一:PAB,PBC2,BPA,BPAB30.又PBC2,PCD4,BPC2,CPBC10.在BPC中,根据正弦定理,得,即 , .由于sin20,cos2.0290,230,15.解法二:在BPC中,根据余弦定理,得PC2PB2BC22PBBCcos2,把PCBC10,PB30代入上式得,300302(10)223010cos2,化简得:cos2 .0290,230,15.解法三:如下图,过顶点C作CEPB,交PB于E,BPC为等腰三角形,PEBE15.在RtBEC中,cos2.0290,230,15.
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