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【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练19 立体几何 理(建议用时45分钟)1(2016长春市高三模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,PAABAD2,四边形ABCD满足ABAD,BCAD且BC4,点M为PC的中点,点E为BC边上的动点,且.(1)求证:平面ADM平面PBC;(2)是否存在实数,使得二面角PDEB的余弦值为?若存在,试求出实数的值;若不存在,说明理由解析:(1)证明:如图取PB的中点N,连接MN、AN.M是PC的中点,N是PB的中点,MNBC,MNBC2,又BCAD,MNAD,MNAD,四边形ADMN为平行四边形APAD,ABAD,且APABA,AD平面PAB,ADAN,ANMN.APAB,ANPB,AN平面PBC,AN平面ADM,平面ADM平面PBC.(2)解:存在符合条件的.以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,2),D(0,2,0),B(2,0,0),设E(2,t,0),从而(0,2,2),(2,t2,0),则平面PDE的一个法向量为n1(2t,2,2),又平面DEB即为平面xAy,其一个法向量为n2(0,0,1),则cosn1,n2,解得t3或t1,故3或.2(2015南宁市高中毕业测试)如图所示多面体中,AD平面PDC,ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,CDP120,AD3,AP5,PC2.(1)试确定点F的位置,使得EF平面PDC;(2)若BFBP,求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值解:(1)取线段BP的中点F,取PC的中点O,连接FO,DO,F,O分别为BP,PC的中点,FO綊BC.四边形ABCD为平行四边形,EDBC,且DEBC,FOED且EDFO,四边形EFOD是平行四边形,EFDO.EF平面PDC,DO平面PDC,EF平面PDC.(2)以DC为x轴,过D点作DC的垂线为y轴,DA为z轴建立空间直角坐标系在PDC中,由PD4,PC2,CDP120,及余弦定理,得CD2,则D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(2,2,0),A(0,0,3),设F(x,y,z),则(x2,y,z3),F.设平面PBC的法向量n1(a,b,c),(0,0,3),(4,2,0),由得令y1,可得n1.cos,n1,直线AF与平面PBC所成的角的正弦值为.3(2016山西省高三质检)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为梯形,PD底面ABCD,ABCD,ADCD,ADAB1,BC,CD2.(1)求证:平面PBD平面PBC;(2)设H为CD上一点,满足2 ,若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为,求二面角HPBC的余弦值解析:(1)证明:由ADCD,ABCD,ADAB1,可得BD.又BC,CD2,BCBD.PD底面ABCD,PDBC,又PDBDD,BC平面PBD,又BC平面PBC,平面PBD平面PBC.(2)解:由(1)可知BPC为PC与平面PBD所成的角,tanBPC,PB,PD1.由2 及CD2,可得CH,DH.以点D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系则B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),H.设平面HPB的法向量为n(x1,y1,z1),则即取y13,则n(1,3,2)设平面PBC的法向量为m(x2,y2,z2),则即取x21,则m(1,1,2)又cosm,n.故二面角HPBC的余弦值为.4.已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是边长为a的菱形,BAD120,PAb.(1)求证:平面PBD平面PAC;(2)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角OPMD的正切值为2,求ab的值(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABD.又底面ABCD为菱形,所以ACBD,所以BD平面PAC,从而平面PBD平面PAC.(6分)(2)解法一:过O作OHPM交PM于H,连接HD.因为DO平面PAC,可以推出DHPM,所以OHD为OPMD的平面角(8分)又ODa,OM,AM,且,从而OH,tanOHD2,所以9a216b2,即.解法二:如图,以A为原点,AD,AP所在直线为y轴,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,b),D(0,a,0),M,O.(8分)从而(0,a,b),.因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为.设平面PMD的法向量为n(x,y,z),由n,n得naybz0,naxaybz0,取xb,yb,za,即n.设与n的夹角为,则二面角OPMD大小与相等,从而tan 2,得cos ,cos ,从而4b3a,即ab43.
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