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专题限时训练(十五)直线与圆(时间:45分钟分数:80分)一、选择题(每小题5分,共25分)1(2015新课标全国卷)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|()A2 B8 C4 D10答案:C解析:设圆的方程为x2y2DxEyF0,则解得 圆的方程为x2y22x4y200.令x0,得y22或y22, M(0,22),N(0,22)或M(0,22),N(0,22), |MN|4.故选C.2(2015重庆卷)已知直线l:xay10(aR)是圆C:x2y24x2y10的对称轴过点A(4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|()A2 B4 C6 D2答案:C解析:由于直线xay10是圆C:x2y24x2y10的对称轴, 圆心C(2,1)在直线xay10上, 2a10, a1, A(4,1) |AC|236440.又r2, |AB|240436. |AB|6.3(2015广东卷)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案:A解析: 所求直线与直线2xy10平行, 设所求的直线方程为2xym0. 所求直线与圆x2y25相切, , m5.即所求的直线方程为2xy50或2xy50.4已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切,且与直线axy10垂直,则a()A B1 C2 D.答案:C解析:因为点P(2,2)为圆(x1)2y25上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k2,故过点P(2,2)的切线斜率为,所以直线axy10的斜率为2,因此a2.5已知函数f(x)xsin x(xR),且f(y22y3)f(x24x1)0,则当y1时,的取值范围是()A. B.C. D.答案:A解析:因为f(x)xsin(x)f(x),且f(x)1cos x0,所以函数为奇函数,且在R上是增函数,所以,由f(y22y3)f(x24x1)0得f(y22y3)f(x24x1),y22y3x24x1.即x2y24x2y40,(x2)2(y1)21,其表示圆(x2)2(y1)21及其内部表示满足的点P与定点A(1,0)连线的斜率结合图形分析可知,直线AC的斜率为最小,切线AB的斜率为tanBAxtan 2PAx最大二、填空题(每小题5分,共15分)6(2014湖北卷)直线l1:yxa和l2:yxb将单位圆C:x2y21分成长度相等的四段弧,则a2b2_.答案:2解析:由题意得,直线l1截圆所得的劣弧长为,则圆心到直线l1的距离为,即a21,同理可得b21,则a2b22.7(2015湖北卷)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2y21相交于M,N两点,下列三个结论:;2;2.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)答案:(1)(x1)2(y)22(2)解析:(1)取AB的中点D,连接CD,则CDAB.由题意|AD|CD|1,故|AC|,即圆C的半径为.又因为圆C与x轴相切于点T(1,0),所以圆心C的坐标为(1,),故圆C的标准方程为(x1)2(y)22.(2)在(x1)2(y)22中,令x0,得y1,故A(0,1),B(0,1)设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线MN斜率不存在时,令M(0,1),N(0,1),则1,1. .当直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为ykx1,由得(1k2)x22(1)kx2(1)0,则x1x2,x1x2,kBMkNB2k2k0,所以kBMkNB,所以MBANBA,BA是MBN的角平分线由内角平分线定理得,即.故恒成立当k0时,可求得1,故1为定值所以(1)2,12,故都正确8直线axby1与圆x2y21相交于A,B两点(其中a,b是实数),且AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为_答案:解析:根据题意画出图形,如图所示,过点O作OCAB于C,因为AOB为等腰直角三角形,所以C为弦AB的中点,又|OA|OB|1,根据勾股定理得|AB|,所以|OC|AB|.所以圆心到直线的距离为,即2a2b22,即a2b210.所以2b,则点P(a,b)与点(0,1)之间距离d.设f(b)b22b2(b2)2,此函数为对称轴为b2的开口向上的抛物线,所以当b2,|MQ|max426,|MQ|min422.(2)因为表示直线MQ的斜率,所以设直线MQ的方程为y3k(x2),即kxy2k30.由题意知直线MQ与圆C有交点,所以2,解得2k2,所以的最大值为2,最小值为2.10.(2014新课标全国卷)已知点P(2,2),圆C:x2y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|OM|时,求l的方程及POM的面积解:(1)圆C的方程可化为x2(y4)216,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则(x,y4),(2x,2y)由题设知0,故x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆由于|OP|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为,故l的方程为yx.又|OM|OP|2,O到l的距离为,|PM|,所以POM的面积为.11(2015广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1:x2y26x50相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:yk(x4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由解:(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x3)2y24, 圆C1的圆心坐标为C1(3,0)(2)设M(x,y), A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点, 由圆的性质知:MC1MO, 0.又 (3x,y),(x,y), 由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为ymx,当直线l与圆C1相切时,d2,解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x230x250,解得x.当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0)又 直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点, x3. 点M的轨迹C的方程为x23xy20,其中x3,其轨迹为一段圆弧(3)由题意知直线L表示过定点(4,0),斜率为k的直线,把直线L的方程代入轨迹C的方程x23xy20,其中x3,化简得(k21)x2(38k2)x16k20,其中x3,记f(x)(k21)x2(38k2)x16k2,其中0时,若x3是方程的解,则f(3)0k0另一根为x0,故在区间上有且仅有一个根,满足题意若x是方程的解,则f0k另外一根为x,3,故在区间上有且仅有一个根,满足题意若x3和x均不是方程的解,则方程在区间上有且仅有一个根,只需ff(3)0k.故在区间上有且仅有一个根,满足题意综上所述,k的取值范围是k或k.
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