2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x1)、B(x2)，求线段AB中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB中点为O(x)，O(x)是AB的中点，AO=OB.又A(x1)、B(x2)，AO=x-x1，OB=x2-x.由x-x1=x2-x得x=，中点坐标为O().绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x1)、B(x2)，则线段AB中点O的坐标为().变式训练1已知数轴上的两点A(x1)、B(x2)，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，求点C的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(),则D(),即D().例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x，2)1；(2)|x-2|1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x，2)1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，d(x，2)1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，|x-2|1表示射线BO和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，|x-2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：x1=-2，x2=2，x=x2-x1=2-(-2)=4.又y1=3，y2=-4，y=y2-y1=(-4)-3=-7.d(A，B)=d(A，B)=.答：d(A，B)=.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=.变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x轴上的点M与B的距离等于点A、B之间的距离，求点M的坐标.解：点M在x轴上，设M(a，0)，则|a-4|=5.解得a=-1或a=9.M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式AM2+CM2=BM2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二).证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD的长为a、宽为b，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a，0)、D(a，b)，设M(x，y)，AM2+CM2=(y-b)2+(x-0)2+(y-0)2+(x-a)2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.又BM2+DM2=(y-0)2+(x-0)2+(y-b)2+(x-a)2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2，AM2+CM2=BM2+DM2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a，b)、B(-a，b)、C(-a，-b)、D(a，-b)、M(x，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x2+y2+a2+b2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x2+y2+a2+b2),AM2+CM2=BM2+DM2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:ABC为直角三角形.证明：AB=,AC=，BC=显然有AB2+AC2=BC2.ABC为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO中，底AB=2，腰AO=4，AOC=60，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A、B、C三点的坐标；(2)梯形ABCO的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A、B作AEx轴，BFx轴，AO=4，AOC=60,|AE|=|BF|=|AO|sin60=,|OE|=|FC|=|AO|cos60=2.A(2，)、B(4，)、C(6，0).(2)|AB|=2，|OC|=6，|AE|=，S= (2+6)=.问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.