3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.二倍角公式(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2=2sincos,(S2)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,(C2)tan2=,(T2)这组公式要记准、记熟、用活.下面给出这组公式的推导:sin(+)=sincos+cossin,当=时,有sin2=2sincos.cos(+)=coscos-sinsin,当=时,有cos2=cos2-sin2=2cos2-1(sin2=1-cos2)=1-2sin2(cos2=1-sin2).tan(+)=,当=时,有tan2=.公式S2、C2中,R,公式T2中的k+且k+ (kZ).从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题:推导思路:在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式.由此,倍角公式是和角公式的特例.公式的适用范围:公式S2、C2中,角可以为任意角,但公式T2只有当+k及+ (kZ)时才成立,否则不成立.当=+k,kZ,虽然tan的值不存在,但tan2的值是存在的,这时求tan2的值可利用诱导公式.对于“二倍角”要有广义理解,如4是2的2倍;作为的2倍;作为的2倍;3作为的2倍;作为的2倍等.2.二倍角公式的变形(1)公式逆用2sincos=sin2,sincos=sin2,cos=,cos2-sin2=cos2,=tan2.(2)公式的逆向变换及有关变形1sin2=sin2+cos22sincos=(sincos)2,1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2,cos2=,sin2=.活学巧用1.已知sin+cos=,且0,求sin2、cos2、tan2的值.解析:方法一:sin+cos=,sin2+cos2+2sincos=.sin2=且sincos=0.0,sin0,cos0.sin-cos0.sin-cos=.cos2=cos2-sin2=(sin+cos)(cos-sin)=(-)=.tan2=.方法二:sin+cos=,平方得sincos=,sin、cos可看成方程x2-x=0的两根,解方程x2-x=0,得x1=,x2=.(0,),sin0.sin=, cos=.sin2=2sincos=,cos2=cos2-sin2=,tan2=.答案:sin2=,cos2=,tan2=.2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x0, ,求f(x)的最大值、最小值.解析:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+).(1)T=.(2)0x,02x,2x+,-1cos(2x+),-22cos(2x+)1.f(x)max=1,f(x)min=-2.答案:(1);(2)f(x)max=1,f(x)min=-2.3.已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,xR.当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解析:y=cos2x+sinxcosx+1=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+.y取得最大值必须且只需2x+=+2k,kZ,即x=+k,kZ.所以量x的集合为x|x=+k,kZ.