变化率问题导数的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.若函数f(x)=-x2+10的图象上一点及邻近一点,则=()A.3B.-3C.-3-(x)2D.-x-3【解析】选D.因为y=f-f=-3x-(x)2,所以=-3-x.2.(2017天津高二检测)如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是()A.1B.-1C.2D.-2【解题指南】可直接求直线AB的斜率.【解析】选B.=-1.3.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为,则m的值为()A.-3B.2C.3D.7【解析】选B.因为V=m3-13=(m3-1),所以=,即m2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去).4.过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+x,-2+y)作割线,则当x=0.5时割线的斜率为()A.B.C.1D.-【解题指南】利用平均变化率的几何意义解题.【解析】选B.=.【补偿训练】已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x,1+y),则等于()A.4B.4+2xC.4+xD.4x+(x)2【解析】选B.因为f(x)=2x2-1,所以f(1+x)=2(1+x)2-1=2(x)2+4x+1,f(1)=1,所以=4+2x.5.f(x)在x=x0处可导,则()A.与x0,x有关B.仅与x0有关,而与x无关C.仅与x有关,而与x0无关D.与x0,x均无关【解析】选B.式子表示的意义是求f(x0),即求f(x)在x0处的导数,它仅与x0有关,与x无关.【补偿训练】设f(x)在x=x0处可导,则等于()A.-f(x0)B.f(-x0)C.f(x0)D.2f(x0)【解析】选A.=-=-f(x0).6.函数y=+2在点x=1处的导数为()A.-2B.C.1D.0【解析】选A.y=-=,=,所以y=-,所以y|x=1=-2.7.(2017潮州高二检测)物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是()A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】选C.在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程较大,所以甲的平均速度较大.8.函数y=f(x)=x2在区间x0,x0+x上的平均变化率为k1,在区间x0-x,x0上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为()A.k1k2B.k10,所以k1k2.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知曲线y=-1上两点A,B(2+x,-+y),当x=1时,割线AB的斜率为.【解析】y=-=-=,所以=-,所以当x=1时,割线AB的斜率为k=-=-.答案:-10.(2017武汉高二检测)在自行车比赛中,运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s单位:m,t单位:s),则t=20s时的瞬时速度为.【解析】由导数的定义知v=10+10t+5t.当t趋于0时,v趋于10+10 t,在t=20s时的瞬时速度为v=1020+10=210m/s.答案:210m/s【规律总结】做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,设t为时间改变量,在t0+t这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是s=s(t0+t)-s(t0),那么位移改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度,即=.【补偿训练】若物体运动方程为s(t)=-2t2+t,则其初速度为.【解析】物体的初速度即t=0时的瞬时速度,=-2t+1,当t趋于0时,趋于1,即初速度为1.答案:1三、解答题11.(10分)(2017济南高二检测)已知质点M按规律s=3t2+2做直线运动(位移s单位:cm,时间t单位:s).(1)当t=2,t=0.01时,求.(2)求质点M在t=2时的瞬时速度.【解析】=6t+3t.(1)当t=2,t=0.01时,=62+30.01=12.03cm/s.(2)当t趋于0时,6t+3t趋于6t,所以质点M在t=2时的瞬时速度为12cm/s.【补偿训练】1.(2017聊城高二检测)求函数y=在x=1处的导数.【解析】y=-1,=,所以=,即函数y=在x=1处的导数为.2.质点M按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s).问是否存在常数a,使质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s?【解析】假设存在常数a,则s=s(2+t)-s(2)=a(2+t)2+1-a22-1=4a+4at+a(t)2+1-4a-1=4at+a(t)2,所以=4a+at.当t趋于0时,4a+at趋于4a,4a=8,解得a=2.所以存在常数a=2,使质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s.【规律总结】对于是否存在的探究性问题,可先假设其存在,然后按瞬时速度的定义求解即可.【能力挑战题】路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯,(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式.(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.【解析】(1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为xm,AB为身影长度,AB的长度为ym.由于CDBE,则=,即=,所以y=x.(2)设人离开路灯的时间为t,因为84m/min=1.4m/s,而x=1.4t.所以y=x=1.4t=t,t0,+).y=(10+t)-10=t,所以=.即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为.