2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.设随机变量XB（n,p）,且EX=1.6,VX=1.28,则（ ）A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45答案:A解析：XB(n,p),EX=np,VX=np(1-p).从而有2.已知B(n,p),E=8,V=1.6,则n与p的值分别是（ ）A.100和0.08 B.20和0.4C.10和0.2 D.10和0.8答案:D解析：若随机变量B(n,p),则E=np=8,且V=np(1-p)=1.6,n=10,p=0.8.3.设掷一颗骰子的点数为,则( )A.E=3.5,V=3.52 B.E=3.5,V=C.E=3.5,V=3.5 D.E=3.5,V=答案:B4.两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量X1、X2，已知EX1=EX2，VX1VX2,则自动包装机_的质量较好.答案:乙解析：EX1=EX2说明甲、乙两机包装重量的平均水平一样，VX1VX2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.乙机质量好.十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.若随机变量的分布如下表所示,则的标准差为( )01P1-pPA.p B.1-p C.p(1-p) D.答案:D解析：随机变量服从(0,1)分布,E（u）=0(1-p)+p=p,V()=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p),.2.已知V(a+b)=a2V+b2V,若V=3,V=1,则V(-+2)为( )A.-1 B.7 C.1 D.6答案:B解析：V(a+b)=a2V+b2V,V(-+2)=V+4V=3+41=7.3.已知随机变量的分布列是( )123P0.40.20.4则V和E分别等于( )A.0和1 B.1.8和1C.2和2 D.0.8和2答案:D4.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量_;方差或标准差越小,随机变量偏离于均值的平均程度就_.答案:取值偏离于均值的平均程度 越小5.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲：所得环数X11098概率P0.20.60.2射手乙：所得环数X21098概率P0.40.20.4谁的射击水平比较稳定？解：E（X1）=100.2+90.6+80.2=9,V(X1)=(10-9)20.2+(9-9)20.6+(8-9)20.2=0.2+0.2=0.4,E(X2)=100.4+90.2+80.4=9,V(X2)=(10-9)20.4+(9-9)20.2+(8-9)20.4=0.4+0.4=0.8.由V（X1）V(X2)，可知甲的射击水平比乙稳定.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.同时抛掷两枚均匀硬币100次,设两枚硬币同时出现正面的次数为,则的期望与方差分别为( )A.25,18.75 B.25,25 C.50,18.75 D.50,25答案:A解析：同时掷抛两枚均匀硬币,出现的情况有四种:正,正;正,负;负,正;负,负.而出现每种情况的概率均为,的数学期望E=25.方差利用公式即可.2.设随机变量N(0,1),则P（-11)等于( )A.2（1）-1 B.2（-1）-1C. D.（1）+（-1）答案:A解析：P(-11)=P(1)-P(-1)=(1)-(-1)=2(1)-1.3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a,b,c-3,-2,-1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量=|a-b|的取值，则的数学期望E为（ ）A. B. C. D.答案:A解析：对称轴在y轴左侧的抛物线共有2=126条.可取的值为0,1,2.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,E=0+1+2=.4.设一随机试验的结果只有A和，且P（A）=p,令随机变量X=则X的方差VX等于（ ）A.p B.2p(1-p) C.-p(1-p) D.p(1-p)答案:D解析：EX=0(1-p)+1p=p,VX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2=p(1-p).5.若X是离散型随机变量，P（X=x1）=,P(X=x2)=,且x1x2,又已知EX=，VX=，则x1+x2的值为（ ）A. B. C.3 D.答案:C解析：由EX=x1+x2=,得2x1+x2=4.又VX=(x1-)2+(x2-)2=,得18x12+9x22-48x1-24x2+29=0.由且x1x2,得x1+x2=3.6.一般地,若离散型随机变量X的频率分布为Xx1x2xnPp1p2pn则(xi-)2=E(X)描述了xi(i=1,2,n)相对于均值的偏离程度,故(x1-)2p1+(x2-)2p2+(xn-)2pn(其中pi0,i=1,2, ,n,p1+p2+pn=1)刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度,我们将其称为_,记为_.答案:离散型随机变量X的方差 V(X)或27.证明事件在一次试验中发生次数方差不超过.证明:设事件在一次试验中发生的次数为，显然可能的取值为0和1，又设事件在一次试验中发生的概率为P，则P(=0)=1-p，P(=1)=p.E=0(1-p)+1p=p,V=(1-p)(0-p)2+p(1-p)2=(1-p)p2+p(1-p)2=p(1-p)()2=.8.设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取一个，共取3次，并且每次取出不再放回，若以表示取出次品的个数，求的期望E和方差V.解:P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=.的分布列为Z12PE=0+1+2=,V=(0-)2+(1-)2+(2-)2=.