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三角恒等变换的常用技巧在不改变结果的前提下,运用基本公式及结论,从角、名、次方面入手,把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式,这种变形叫做三角恒等变换三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下:题型一:常值代换(特别是“1”的代换)【知识链接】 【巩固与应用】 1 若,则可化为( ) DA B C D 2已知,求值:.题型二:公式变形【知识链接】 【巩固与应用】 1化简:. 2(1)已知,求证:;(2)化简:.题型三:升次降次【知识链接】,上面公式正用降次,反用升次.【巩固与应用】 1若,则的值是( ) A B C D 2求值: 3求值: 4(08宁夏、海南理7) A B C2 D 5(07陕西理4)已知,则的值为 A B C D 6求函数的单调区间。增,减 7已知,求的值。结果 8已知函数 (1)求:函数的最大值及最小值; (2)求:函数的最小正同期、单调递增区间;(3)该函数图像可由图像作怎样变化而得到。题型四:公式活用【知识链接】 公式正用、公式逆用、公式变形后使用【巩固与应用】 1求值: 1 2已知为第三象限角,且 , 那么等于( A ) A B C D 3在中,若+,则为 . 等腰直角三角形 4函数的最小正周期是( ) C A B C D 5(06全国理10)若,则等于 C A B C D 6(07浙江理12)已知,且,则的值是 题型五:弦切互化【知识链接】 能实现转化的公式有:, 【巩固与应用】 1 求值: -2 2 求值: 3已知,则 4求值: 5求证:. 6若,则 -4题型六:辅助角变换【知识链接】 1辅助角公式:(其证明附后)2推论:; ; 3利用公式 及引入【巩固与应用】 1 函数的最小值是( ) A B C D0 2把函数的图像向左平移个单位,所得的图像关于轴对称则的最小正值是( ) A B C D 3函数的最小正周期为 4求函数的单调区间 3当时,函数的值( D ) A最大值是1,最小值是-1 B最大值是1最小值是 C最大值是2最小值是-2 D最大值是2最小值是-1 4与的周期、振幅都相同的函数是( A ) A B C D 题型七:角的和差拆分变换【知识链接】 1原则:化未知为已知 2拆分技巧:再如 如;,等 3半角与倍角的相对性:如是的半角,同时也是的倍角;是的半角,同时也是的倍角; 【巩固与应用】 例 已知,且,求的值 1(06重庆理13)已知,则 2(08天津理17)已知,(1)求的值;(2)求的值 3(07江苏理11)若,则 4(08山东理5)已知,则的值是 A B C D 5(08上海春理6)化简: 6(08江苏理15)在平面直角坐标系中,以轴为始边作两个锐角、,它们的终边 分别与单位圆相交于、两点已知、的横坐标分别为、 (1)求的值; (2)求的值 7已知,,则 A0 B0或 C D 8的值等于( ) A B C D 9设,则 10已知,,那么的值是( B ) A B C D 11已知是锐角,求的值。 题型八:和积互化(不要求)【知识链接】 1积化和差公式 2和差化积公式3和积互化. 【巩固与应用】 1 如果,,则为( ) A B C D 2已知,那么的值是( ) A B C D 3化简: 4已知是第二象限角,且(),求下列各式的值: (1); (2) 5已知,是方程的两根,求的值 6已知三角形中的三个内角满足,求的值。 解法(I):由题设条件, 将 由 解法(II):因为 , 设 则 , 故 附录一 起点公式的证明 1两角和余弦公式的推导 2两角和正弦公式的推导 3半角公式的推导4辅助角的推导及其推论,;,由的系数可得点(一定要注意与顺序),射线(为坐标原点)可作为某个角的终边,设为,于是有:,所以其中,叫做辅助角,它所在象限取决于点所在象限,它的一个函数值为:推论:; ; 口诀:正余化正,加减不变,余正化余,加减颠倒,前6后3 5 附录二 些常用的结果 1 2, 3, 附录三 万能公式, 1 已知,求的值附录四 半角公式 ,(符号由半角终边位置决定)附录五 衍生二倍角公式, 附录六 三倍角公式,附录七 和积互化公式 积化和差公式: , 和差化积公式:, , 8
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