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第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评 新人教B版选修4-5(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1.集合x|0|x3|3,xZ的真子集个数为()A.16B.15C.8D.7【解析】不等式的解集为x1,2,4,5,共4个元素,所以真子集个数为24115.【答案】B2.不等式|x1|x2|5的解集为()A.x|x1或x4B.x|x1或x2C.x|x1D.x|x2【解析】画数轴可得当x1或x4时,有|x1|x2|5.由绝对值的几何意义可得,当x1或x4时,|x1|x2|5.【答案】A3.如果关于x的不等式|xa|x4|1的解集是全体实数,则实数a的取值范围是() 【导学号:38000011】A.(,35,)B.5,3C.3,5D.(,53,)【解析】在数轴(略)上,结合绝对值的几何意义可知a5或a3.【答案】D4.0的解集为()A.B.C.D.【解析】分母|x3|0且x3,原不等式等价于|2x1|20,即|2x1|2,2x12或2x12,解得x或x.原不等式的解集为.【答案】C5.函数y|x1|x2|()A.图象无对称轴,且在R上不单调B.图象无对称轴,且在R上单调递增C.图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调D.图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增【解析】原函数可化为:y其图象如图所示:由图象知C正确.【答案】C二、填空题6.不等式|x1|x2|3的最小整数解是_.【解析】原不等式可化为或或解得0x3,最小整数解是0.【答案】07.(广东高考)不等式|x1|x2|5的解集为_.【解析】法一:要去掉绝对值符号,需要对x与2和1进行大小比较,2和1可以把数轴分成三部分.当x2时,不等式等价于(x1)(x2)5,解得x3;当2x1时,不等式等价于(x1)(x2)5,即35,无解;当x1时,不等式等价于x1x25,解得x2.综上,不等式的解集为x|x3或x2. 法二:|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和,如图所示,数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2,故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2,所以不等式的解集为x|x3或x2.【答案】x|x3或x28.不等式1的实数解集为_.【解析】1|x1|x2|,x20(x1)2(x2)2,x2x,x2.【答案】(,2)三、解答题9.已知函数f(x)|x3|2,g(x)|x1|4.(1)解不等式f(x)1;(2)若不等式f(x)g(x)m1的解集为R,求m的取值范围.【解】(1)依题意,f(x)1,即|x3|3.3x33,0x6,因此不等式f(x)1的解集为0,6.(2)f(x)g(x)|x3|x1|6|(x3)(x1)|62,f(x)g(x)的最小值为2,要使f(x)g(x)m1的解集为R.应有m12,m3,故实数m的取值范围是(,3.10.已知函数f(x)|2x1|2xa|,g(x)x3.(1)当a2时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)设a1时,且当x时,f(x)g(x),求a的取值范围.【解】(1)当a2时,不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3,则y其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0,所以原不等式的解集是x|0x2.(2)当x时,f(x)1a,不等式f(x)g(x)化为1ax3,所以xa2对x都成立,故a2,即a.从而a的取值范围是.能力提升1.设变量x,y满足|x|y|1,则x2y的最大值和最小值分别为()A.1,1B.2,2C.1,2D.2,1【解析】|x|y|1表示的平面区域如图阴影部分所示.设zx2y,作l0:x2y0,把l0向右上和左下平移,易知当l过点(0,1)时,z有最大值zmax0212;当l过点(0,1)时,z有最小值zmin02(1)2.【答案】B2.若关于x的不等式|x1|kx恒成立,则实数k的取值范围是()A.(,0B.1,0C.0,1D.0,)【解析】作出y|x1|与l1:ykx的图象如图,当k0时,直线一定经过第二、四象限,从图看出明显不恒成立;当k0时,直线为x轴,符合题意;当k0时,要使|x1|kx恒成立,只需k1.综上可知k0,1.【答案】C3.已知不等式|axb|2(a0)的解集为x|1x5,则实数a,b的值为_. 【导学号:38000012】【解析】原不等式等价于2axb2.当a0时,解得x,与1x5比较系数得解得当a0时,解得x,与1x5比较系数得解得综上所述,a1,b3或a1,b3.【答案】1,3或1,34.已知函数f(x)|x1|,g(x)2|x|a.(1)当a0时,解不等式f(x)g(x);(2)若存在xR,使得f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.【解】(1)|x1|2|x|x22x14x2x1,不等式f(x)g(x)的解集为.(2)若存在xR,使得|x1|2|x|a成立,即存在xR,使得|x1|2|x|a成立,令(x)|x1|2|x|,则a(x)max,又(x)当x0时,(x)1;当1x0时,2(x)1;当x1时,(x)2.综上可得:(x)1,a1,即实数a的取值范围为(,1.
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