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1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1下列结论正确的是()A若ycos x,则ysin xB若ysin x,则ycos xC若y,则yD若y,则y【解析】(cos x)sin x,A不正确;(sin x)cos x,B不正确;(),D不正确【答案】C2(2016济南高二检测)在曲线f(x)上切线的倾斜角为的点的坐标为()A(1,1)B(1,1)C(1,1)D(1,1)或(1,1)【解析】切线的斜率ktan 1,设切点为(x0,y0),则f(x0)1,又f(x),1,x01或1,切点坐标为(1,1)或(1,1)故选D.【答案】D3对任意的x,有f(x)4x3,f(1)1,则此函数解析式为()Af(x)x3Bf(x)x42Cf(x)x31Df(x)x41【解析】由f(x)4x3知f(x)中含有x4项,然后将x1代入选项中验证可得,选B.【答案】B4(2016北京高二检测)已知曲线yx3在点(2,8)处的切线方程为ykxb,则kb()A4B4C28D28【解析】y3x2,点(2,8)处的切线斜率kf(2)12.切线方程为y812(x2),即y12x16,k12,b16,kb28.【答案】C5若f(x)sin x,f(),则下列的值中满足条件的是()A. B.C. D.【解析】f(x)sin x,f(x)cos x.又f()cos ,2k(kZ)当k0时,.【答案】A二、填空题6(2016菏泽高二检测)已知f(x)x2,g(x)ln x,若f(x)g(x)1,则x_.【解析】因为f(x)x2,g(x)ln x,所以f(x)2x,g(x)且x0,f(x)g(x)2x1,即2x2x10,解得x1或x(舍去)故x1.【答案】17直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线,则实数b_.【解析】设切点坐标为(x0,y0),则y0ln x0.y(ln x),y|xx0,由题意知,x02,y0ln 2.由ln 22b,得bln 21.【答案】ln 218(2016南京高二检测)已知函数yf(x)的图象在M(1,f(1)处的切线方程是yx2,则f(1)f(1)_.【解析】依题意知,f(1)12,f(1),f(1)f(1)3.【答案】3三、解答题9若质点P的运动方程是s(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t8 s时的瞬时速度【解】s()(t)t,s|t8821,质点P在t8 s时的瞬时速度为 m/s.10设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a,f(2)b,其中常数a,bR.求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程【解】因为f(x)x3ax2bx1,所以f(x)3x22axb.令x1,得f(1)32ab,又f(1)2a,所以32ab2a,解得b3.令x2,得f(2)124ab,又f(2)b,所以124abb,解得a.则f(x)x3x23x1,从而f(1).又f(1)23,所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y3(x1),即6x2y10.能力提升1设f0(x)sin x,f1(x)f0(x),f2(x)f1(x),fn1(x)fn(x),nN,则f2 017(x)()Asin x Bsin xCcos xDcos x【解析】f0(x)sin x,f1(x)f0(x)(sin x)cos x,f2(x)f1(x)(cos x)sin x,f3(x)f2(x)(sin x)cos x,f4(x)f3(x)(cos x)sin x,所以4为最小正周期,故f2 017(x)f1(x)cos x.【答案】C2若曲线yx在点(a,a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a()A64B32C16D8【解析】因为yx,所以曲线yx在点(a,a)处的切线方程为:yaa(xa),由x0得ya,由y0得x3a,所以a3a18,解得a64.【答案】A3(2016潍坊高二检测)点P是f(x)x2上任意一点,则点P到直线yx1的最短距离是_【解析】与直线yx1平行的f(x)x2的切线的切点到直线yx1的距离最小设切点为(x0,y0),则f(x0)2x01,x0,y0.即P到直线yx1的距离最短d.【答案】4(2016潍南高二检测)已知P(1,1),Q(2,4)是曲线yx2上的两点,(1)求过点P,Q的曲线yx2的切线方程;(2)求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程【解】(1)因为y2x.P(1,1),Q(2,4)都是曲线yx2上的点过P点的切线的斜率k1y|x12,过Q点的切线的斜率k2y|x24,过P点的切线方程为y12(x1),即2xy10.过Q点的切线方程为y44(x2),即4xy40.(2)因为y2x,直线PQ的斜率k1,切线的斜率ky|xx02x01,所以x0,所以切点M,与PQ平行的切线方程为yx,即4x4y10.
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