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1.1.1 归纳推理(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1.数列5,9,17,33,x,中的x等于()A.47B.65C.63D.128【解析】5221,9231,17241,33251,归纳可得:x26165.【答案】B2.观察下列各式:7249,73343,742 401,则72 016的末两位数字为() A.01B.43C.07D.49【解析】7516 807,76117 649,由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现,故72 01674504,故其末两位数字为01.【答案】A3.已知数列an的前n项和Snn2an(n2),且a11,通过计算a2,a3,a4,猜想an()A.B.C.D.【解析】可以通过Snn2an(n2)分别代入n2,3,4,求得a2,a3,a4,猜想an.【答案】B4.我们把1,4,9,16,25,这些数称做正方形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图116).图116则第n个正方形数是()A.n(n1)B.n(n1)C.n2D.(n1)2【解析】观察前5个正方形数,恰好是序号的平方,所以第n个正方形数应为n2.【答案】C5.如图117所示,着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项,则这个数列的一个通项公式为()图117A.an3n1B.an3nC.an3n2nD.an3n12n3【解析】a11,a23,a39,a427,猜想an3n1.【答案】A二、填空题6.设f(x),x11,xnf(xn1)(n2),则x2,x3,x4分别为_,猜想xn_.【解析】x2f(x1),x3f(x2),x4f(x3),xn.【答案】,7.根据给出的数塔,猜测123 45697等于_.19211,1293111,123941 111,1 2349511 111,12 34596111 111.【解析】由前5个等式知,右边各位数字均为1,位数比前一个等式依次多1位,所以123 456971 111 111.【答案】1 111 1118.如图118所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n1,nN)个点,每个图形总的点数记为an,则a6_,an_.图118【解析】依据图形特点可知当n6时,三角形各边上各有6个点,因此a636315.由n2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an3n3(n2,nN).【答案】153n3(n2,nN)三、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn,a11,且Sn120(n2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.【解】当n1时,S1a11;当n2时,2S13,S2;当n3时,2S2,S3;当n4时,2S3,S4.猜想:Sn(nN).10.已知f(x),分别求f(0)f(1),f(1)f(2),f(2)f(3)的值,然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.【解】由f(x),得f(0)f(1),f(1)f(2),f(2)f(3).归纳猜想一般性结论为f(x)f(x1).证明如下:f(x)f(x1).能力提升1.(2016西安期末检测)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n1B.2nC.D.n2n1【解析】1条直线将平面分成11个区域;2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域;3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域;,n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域,选C.【答案】C2.(2016南昌调研)已知整数对的序列为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第57个数对是() A.(2,10)B.(10,2)C.(3,5)D.(5,3)【解析】由题意,发现所给数对有如下规律:(1,1)的和为2,共1个;(1,2),(2,1)的和为3,共2个;(1,3),(2,2),(3,1)的和为4,共3个;(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)的和为5,共4个;(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)的和为6,共5个.由此可知,当数对中两个数字之和为n时,有n1个数对.易知第57个数对中两数之和为12,且是两数之和为12的数对中的第2个数对,故为(2,10).【答案】A3.如图119,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向三角形外作正三角形,并擦去中间一段,得图119,如此继续下去,得图119,试用n表示出第n个图形的边数an_.图119【解析】观察图形可知,a13,a212,a348,故an是首项为3,公比为4的等比数列,故an34n1.【答案】34n14.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213cos217sin 13cos 17;sin215cos215sin 15cos 15;sin218cos212sin 18cos 12;sin2(18)cos248sin(18)cos 48;sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解】(1)选择式,计算如下:sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下:sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.
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