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2.2 函数的简单性质自我小测1对于定义在R上的任意奇函数f(x),下列式子中恒成立的序号是_(1)f(x)f(x)0;(2)f(x)f(x)0;(3)f(x)f(x)0;(4)f(x)f(x)0;(5)f(x)f(x)0;(6).2已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数,其定义域是a1,2a,则a_,b_.3已知f(x)x5ax3bx8,且f(2)10,则f(2)_.4已知奇函数f(x)在x0时,函数解析式为f(x)x(x1),则当x0时,函数解析式f(x)_.5若f(x)是定义在R上的偶函数,在(,0上是单调减函数,且f(2)0,则使得f(x)0的x的取值范围是_6若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x2)f(x),给出下列4个结论:f(2)0;f(x)f(x4);f(x)的图象关于直线x0对称;f(x2)f(x),其中所有正确结论的序号是_7判断下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);(4) (aR)8设f(x)为定义在R上的偶函数,当0x2时,yx;当x2时,yf(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分(1)求函数f(x)在(,2)上的解析式;(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的值域参考答案千里之行1(3)(5)解析:由奇函数的定义知,f(x)f(x),f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)20,且f(x)f(x)0,(3)(5)正确,(1)(2)(4)错,(6)当f(x)0时成立,故不恒成立2.0解析:函数具有奇偶性时,定义域必须关于原点对称,故a12a,又对于f(x)有f(x)f(x)恒成立,b0.326解析:方法一:令g(x)x5ax3bx,则g(x)是奇函数f(2)g(2)8g(2)810,g(2)18,f(2)g(2)818826.方法二:f(x)f(x)(x)5a(x)3b(x)8x5ax3bx816,f(2)f(2)16,又f(2)10,f(2)16f(2)161026.4x(x1)解析:设x0时,则x0,由条件,得f(x)x(x1)函数为奇函数,f(x)f(x),f(x)x(x1),f(x)x(x1)(x0)5(2,2)解析:方法一:f(2)0,f(2)0,f(x)在(,0上单调递减,又f(x)为偶函数,f(x)在0,)上单调递增,当x(2,0时,f(x)f(2)0,当x0,2)时,f(x)f(2)0,使f(x)0的x的取值范围是(2,2)方法二:f(x)是偶函数,且在(,0上是单调减函数,f(x)在0,)上是单调增函数,f(2)0,f(2)f(2)0,由单调性易知使f(x)0的x的取值范围是(2,2),借助图形更直观,如图6解析:由题意,知f(0)f(2),f(2)f(0),又f(x)是R上的奇函数,f(0)0,f(2)0,故正确;f(x)f(x2)f(x4),正确;f(x)为奇函数,图象关于原点对称,不正确;f(x)f(x)f(x2),正确7解:(1),但f(x)的定义域为x|x1,关于原点不对称,故此函数是非奇非偶函数(2)f(x)的定义域为R,对任意的xR,都有,函数f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为(,0)(0,),关于原点对称当x0时,x0,则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)当x0时,x0,则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)对定义域内的任意x,都有f(x)f(x)函数f(x)为奇函数(4)当a0时,f(x)x2,对任意x(,0)(0,),f(x)(x)2x2f(x),函数f(x)为偶函数当a0时,(a0,x0),取x1,得f(1)f(1)20,f(1)f(1)2a0,f(1)f(1),f(1)f(1),函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数8解:(1)当x2时,设f(x)a(x3)24.又因为过A(2,2),所以f(2)a(23)242,解得a2,所以f(x)2(x3)24.设x(,2),则x2,所以f(x)2(x3)24.又因为f(x)在R上为偶函数,所以f(x)f(x),所以f(x)2(x3)24,即f(x)2(x3)24,x(,2)(2)图象如图所示,(3)由图象观察知f(x)的值域为y|y4
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