第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用教师用书 理 新人教版1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()1(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C解析x0，y0，即xy()281，当且仅当xy9时，(xy)max81.2已知f(x)x2(x0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 Da2b28答案D解析4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项A，C不成立；1，选项B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立4(教材改编)已知x，y均为正实数，且x4y1，则xy的最大值为_答案解析1x4y24，xy()2，当且仅当x4y，即时，(xy)max.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案25解析设矩形的一边为x m，则另一边为(202x)(10x)m，yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式例1(1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_(2)已知x1)的最小值为_答案(1)(2)1(3)22解析(1)x(43x)(3x)(43x)2，当且仅当3x43x，即x时，取等号(2)因为x0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(3)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立命题点2通过常数代换法利用基本不等式例2已知a0，b0，ab1，则的最小值为_答案4解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立引申探究1条件不变，求(1)(1)的最小值解(1)(1)(1)(1)(2)(2)52()549.当且仅当ab时，取等号2已知a0，b0，4，求ab的最小值解由4，得1.ab()(ab)21.当且仅当ab时取等号3将条件改为a2b3，求的最小值解a2b3，ab1，()(ab)121.当且仅当ab时，取等号思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_(2)已知x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值为3，则m_.答案(1)5(2)4解析(1)方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5.当且仅当，即x1，y时，等号成立，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y4y4(y)25，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)(当且仅当，即yx时取等号)，(1m2)3，解得m4.题型二基本不等式的实际应用例3(2017淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得：当0x80时，L(x)1 000x0.05(x210x)250x240x250；当x80时，L(x)1 000x0.05(51x1 450)2501 200(x)L(x)(2)当0x0)，即x80时“”成立(2)年平均利润为x18(x)18，x210，18(x)18108，当且仅当x，即x5时，取等号题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(1)(2016菏泽一模)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8 C4 D2(2)(2016山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_答案(1)A(2)解析(1)圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)()5.因为b，c0，所以24.当且仅当时等号成立由此可得b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.(2)ana1(n1)dn，Sn，(n1)(21)，当且仅当n4时取等号的最小值是.命题点2求参数值或取值范围例5(1)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_答案(1)B(2)，)解析(1)由，得m(a3b)()6.又62612(当且仅当时等号成立)，m12，m的最大值为12.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3.设g(x)x，xN*，则g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，(x)3，a，故a的取值范围是，)思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不