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第十章 计数原理 10.3 二项式定理 理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cankbk,它表示第k1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(k0,1,2,n)2.二项式系数的性质(1)C1,C1.CCC.(2)CC.(3)n是偶数时,项的二项式系数最大;n是奇数时,与项的二项式系数相等且最大(4)CCCC2n.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C,C,一直到C,C.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项()(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关()(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0,则a7a6a1的值为128.()1(教材改编)(xy)n的二项展开式中,第m项的系数是()AC BCCC D(1)m1C答案D解析(xy)n展开式中第m项的系数为C(1)m1.2(2016四川)设i为虚数单位,则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4 B15x4C20ix4 D20ix4答案A解析由题意可知,含x4的项为Cx4i215x4.故选A.3(2016云南部分名校1月统一考试)已知,那么n展开式中含x2项的系数为()A130 B135 C121 D139答案B解析根据题意,则6中,由二项式定理得通项公式为Tk1C(3)kx62k,令62k2,得k2,所以系数为C9135.4在()n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是_答案7解析由题意知15,解得n8,()8的展开式的通项Tk1C()8k()k,令80,得k6,则展开式中的常数项为(1)6268C7.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2016全国乙卷)(2x)5的展开式中,x3的系数是_(用数字填写答案)(2)(2015课标全国)(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为()A10 B20C30 D60答案(1)10(2)C解析(1)(2x)5展开式的通项公式 k0,1,2,3,4,5,令53,解得k4,得x3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x2x)y5,含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.方法二利用组合知识求解(x2xy)5为5个x2xy之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CC30.故选C.命题点2已知二项展开式某项的系数求参数例2(1)(2015课标全国)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a_.(2)(2016山东)若5的展开式中x5的系数为80,则实数a_.答案(1)3(2)2解析(1)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,令x1,得16(a1)a0a1a2a3a4a5,令x1,得0a0a1a2a3a4a5.,得16(a1)2(a1a3a5),即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1),所以8(a1)32,解得a3.(2)10k5,解得k2,a3C80,解得a2.思维升华求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k1,代回通项公式即可(1)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)(2)(xa)10的展开式中,x7的系数为15,则a_.(用数字填写答案)答案(1)20(2)解析(1)x2y7x(xy7),其系数为C,x2y7y(x2y6),其系数为C,x2y7的系数为CC82820.(2)设通项为Tk1Cx10kak,令10k7,k3,x7的系数为Ca315,a3,a.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例3在(2x3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10,(*)各项系数的和为a0a1a10,奇数项系数和为a0a2a10,偶数项系数和为a1a3a5a9,x的奇次项系数和为a1a3a5a9,x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1,各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29,偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1,得到a0a1a2a101,令x1,y1(或x1,y1),得a0a1a2a3a10510,得2(a0a2a10)1510,奇数项系数和为;得2(a1a3a9)1510,偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9;x的偶次项系数和为a0a2a4a10.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(axb)n,(ax2bxc)m (a,bR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x1即可;对形如(axby)n (a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0a2a4,偶数项系数之和为a1a3a5.(1)(2016北京海淀区模拟)设m为正整数,(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a7b,则m等于()A5 B6 C7 D8答案B解析由题意得aC,bC,13C7C,13,解得m6,经检验符合题意,故选B.(2)若(12x)2 016a0a1xa2x2a2 016x2 016,则的结果是多少?解当x0时,左边1,右边a0,a01.当x时,左边0,右边a0,01.即1.题型三二项式定理的应用例4(1)设aZ且0a13,若512 012a能被13整除,则a等于()A0 B1 C11 D12(2)1.028的近似值是_(精确到小数点后三位)答案(1)D(2)1.172解析(1)512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a,C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除,C(1)2 012a1a也能被13整除,因此a的值为12.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式(1)190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881,前10项均能被88整除,余数是1.(2)已知2n23n5na能被25整除,求正整数a的最小值解原式46n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a,显然正整数a的最小值为4.15二项展开式的系数与二项式系数典例(1)(2016河北武邑中学期末)若()n展开式的各项系数绝对值之和为1 024,则展开式中含x项的系数为_(2)(2016河北邯郸一中调研)已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中x4的系数是35,则a1a2a7_.错解展示解析(1)()n展开式中,令x1可得4n1 024,n5,()n展开式的通项Tk1(3)kC,令1,得k1.故展开式中含x项的系数为C5.(2)a1a2a7CCC271.答案(1)5(2)271现场纠错解析(1)在()n的展开式中,令x1,可得()n展开式的各项系数绝对值之和为4n22n1 024210,n5.故()5展开式的通项为Tk1(3)kC,令1,得k1,故展开式中含x项的系数为15.(2)(xm)7a0a1xa2x2a7x7,令x0,a0(m)7.又展开式中x4的系数是35,C(m)335,m1.a0(m)71.在(xm)7a0a1xa2x2a7x7中,令x1,得01a1a2a7,即a1a2a3a71.答案(1)15(2)1纠错心得和二项展开式有关的问题,要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数,是系数和还是二项式系数的和.
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