资源预览内容
第1页 / 共10页
第2页 / 共10页
第3页 / 共10页
第4页 / 共10页
第5页 / 共10页
第6页 / 共10页
第7页 / 共10页
第8页 / 共10页
第9页 / 共10页
第10页 / 共10页
亲,该文档总共10页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第六节数学归纳法1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n1时结论成立()(2)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用()(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由nk到nk1时,项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”,验证n1时,左边式子应为122223.()答案(1)(2)(3)(4)2(2017杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时,第一步检验n等于()A1B2C3D0C因为凸n边形最小为三角形,所以第一步检验n等于3,故选C.3已知n为正偶数,用数学归纳法证明12时,若已假设nk(k2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立Bk为偶数,则k2为偶数4(教材改编)已知an满足an1anan1,nN*,且a12,则a2_,a3_,a4_,猜想an_.345n15用数学归纳法证明:“11)”由nk(k1)不等式成立,推证nk1时,左边应增加的项的项数是_. 【导学号:51062209】2k当nk时,不等式为1均成立证明(1)当n2时,左边1;右边.左边右边,不等式成立.4分(2)假设nk(k2,且kN*)时不等式成立,即.8分则当nk1时,.14分当nk1时,不等式也成立由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.15分规律方法1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他方法不容易证明,则可考虑应用数学归纳法2用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立,再证nk1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化变式训练2已知数列an,当n2时,an1,又a10,aan11a,求证:当nN*时,an1a2.4分(2)假设当nk(kN*)时,ak1ak,6分aa(ak2ak1)(ak2ak11),ak10.10分又ak2ak111(1)11,ak2ak10,ak2ak1,即当nk1时,命题成立由(1)(2)可知,当nN*时,an10,nN*.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)证明通项公式的正确性解(1)当n1时,由已知得a11,a2a120.a11(a10).2分当n2时,由已知得a1a21,将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*).7分(2)证明:由(1)知,当n1,2,3时,通项公式成立假设当nk(k3,kN*)时,通项公式成立,即ak.10分由于ak1Sk1Sk,将ak代入上式,整理得a2ak120,ak1,即nk1时通项公式成立.14分由可知对所有nN*,an都成立.15分规律方法1.猜想an的通项公式时应注意两点:(1)准确计算a1,a2,a3发现规律(必要时可多计算几项);(2)证明ak1时,ak1的求解过程与a2,a3的求解过程相似,注意体会特殊与一般的辩证关系2“归纳猜想证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用,它的模式是先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理证明结论的正确性变式训练3(2017绍兴调研)已知数列xn满足x1,xn1,nN*.猜想数列x2n的单调性,并证明你的结论. 【导学号:51062210】解由x1及xn1,得x2,x4,x6,由x2x4x6猜想:数列x2n是递减数列.4分下面用数学归纳法证明:(1)当n1时,已证命题成立.6分(2)假设当nk(k1,kN*)时命题成立,即x2kx2k2,易知xk0,那么x2k2x2k40,12分即x2(k1)x2(k1)2.也就是说,当nk1时命题也成立结合(1)(2)知,对nN*命题成立.15分思想与方法1数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据2在推证nk1时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标,又要弄清nk与nk1之间的关系在推证时,应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法易错与防范1第一步验证当nn0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合适的起始值2由nk时命题成立,证明nk1时命题成立的过程中,一定要用归纳假设,否则就不是数学归纳法3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功课时分层训练(三十五)数学归纳法A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1用数学归纳法证明2n2n1,n的第一个取值应是()A1B2C3D4Cn1时,212,2113,2n2n1不成立;n2时,224,2215,2n2n1不成立;n3时,238,2317,2n2n1成立n的第一个取值应是3.2一个关于自然数n的命题,如果验证当n1时命题成立,并在假设当nk(k1且kN*)时命题成立的基础上,证明了当nk2时命题成立,那么综合上述,对于() 【导学号:51062211】A一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立D以上都不对B本题证的是对n1,3,5,7,命题成立,即命题对一切正奇数成立3在数列an中,a1,且Snn(2n1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为()A.B.C.D.C由a1,Snn(2n1)an求得a2,a3,a4.猜想an.4凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2C边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n1)条5用数学归纳法证明3(27k)能被9整除,证明nk1时,应将3(27k1)配凑成() 【导学号:51062212】A6217kB3(27k)21C3(27k)D21(27k)36D要配凑出归纳假设,故3(27k1)3(277k)6217k21(27k)36.二、填空题6用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”,当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时,进而需证n_时,命题亦真2k1n为正奇数,假设n2k1成立后,需证明的应为n2k1时成立7用数学归纳法证明123n2,则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_. 【导学号:51062212】(k21)(k22)(k1)2当nk时左端为123k(k1)(k2)k2,则当nk1时,左端为123k2(k21)(k22)(k1)2,故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.8已知f(n)1(nN*),经计算得f(4)2,f(8),f(16)3,f(32),则其一般结论为_f(2n)(n2,nN*)因为f(22),f(23),f(24),f(25),所以当n2时,有f(2n).故填f(2n)(n2,
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号