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课时达标第15讲解密考纲本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合,作为中档题或压轴题出现三种题型均有出现,以解答题为主,难度较大一、选择题1若函数f(x)x32cx2x有极值点,则实数c的取值范围为(D)ABCD解析若函数f(x)x32cx2x有极值点,则f(x)3x24cx10有根,故(4c)2120,从而c或c0,令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0,在(1,0上,f(x)0,则当x2,0时函数有最大值,为f(1)2.当a0时,若x0,显然eax1,此时函数在2,2上的最大值为2,符合题意;当a0时,若函数在2,2上的最大值为2,则e2a2,得aln 2,综上可知a的取值范围是,故选D5已知函数f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3,那么此函数在2,2上的最小值为(A)A37B29C5D11解析f(x)6x212x6x(x2),由f(x)0得x0或x2.f(0)m,f(2)8m,f(2)40m,显然f(0)f(2)f(2),m3,最小值为f(2)37,故选A6(2018河北三市联考二)若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数,则函数f(x)在R上的极小值为(A)A2bBbC0Db2b3解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)函数f(x)在区间3,1上不是单调函数,3b0,得x2.由f(x)0,得bx2,函数f(x)的极小值为f(2)2b,故选A二、填空题7已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则Mm_32_.解析f(x)3x212,令f(x)0,则x2和x2为其两个极值点,f(3)1,f(3)17,f(2)8,f(2)24,M24,m8,Mm32.8(2018东北八校月考)已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值,其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50,则f(x)的极大值与极小值之差为_4_.解析f(x)3x26ax3b,f(x)3x26x,令3x26x0,得x0或x2,f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.9已知函数f(x)的定义域是1,5,部分对应值如下表.x10245f(x)12021f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值为_0_.解析由yf(x)的图象知,f(x)与f(x)随x的变化情况如下表.x(1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f(x)000f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f(x)的极小值为f(2)0.三、解答题10(2017北京卷)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)因为f(x)excos xx,所以f(x)ex(cos xsin x)1,f(0)0.又因为f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y1(2)设h(x)ex(cos xsin x)1,则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时,h(x)0,所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0,即f(x)0,f(x)为(,)上的增函数,所以函数f(x)无极值当a0时,令f(x)0,得exa,即xln a.x(,ln a)时,f(x)0,所以f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,故f(x)在xln a处取得极小值f(ln a)ln a,无极大值综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在xln a处取得极小值ln a,无极大值12已知函数f(x)ax2ex(aR,e为自然对数的底数),f(x)是f(x)的导函数(1)解关于x的不等式:f(x)f(x);(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围解析(1)f(x)2axex,f(x)f(x)ax(x2)0.当a0时,无解;当a0时,解集为x|x2;当a0时,解集为x|0x2(2)设g(x)f(x)2axex,则x1,x2是方程g(x)0的两个根g(x)2aex,若a0,g(x)0,则当x(,ln 2a)时,g(x)0,g(x)单调递增,当x(ln 2a,)时,g(x)0,得a.故实数a的取值范围是.
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