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第二节第二节 参数方程参数方程 考纲传真 1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆 和椭圆曲线的参数方程 1曲线的参数方程 一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函 数Error!并且对于t取的每一个允许值,由这个方程组所确定的点P(x,y)都在这条曲线上, 那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫作参变数,简 称参数 2直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为Error!(t为参数) (2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为Error!(为参数) (3)椭圆1(ab0)的参数方程为Error!(为参数) x2 a2 y2 b2 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”) (1)参数方程Error!中的x,y都是参数t的函数( ) (2)过M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为Error!(t为参数)参数t的几 何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段的数量( ) M0M (3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心,以 2 为半径的圆( ) (4)已知椭圆的参数方程Error!(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t,点O为 3 原点,则直线OM的斜率为.( ) 3 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)曲线Error!(为参数)的对称中心( ) A在直线y2x上 B在直线y2x上 C在直线yx1 上 D在直线yx1 上 B B 由Error!得Error! 所以(x1)2(y2)21. 曲线是以(1,2)为圆心,1 为半径的圆, 所以对称中心为(1,2),在直线y2x上 3(教材改编)在平面直角坐标系中,曲线C:Error!(t为参数)的普通方程为 _ xy10 由x2t,且y1t, 2 2 2 2 消去t,得xy1,即xy10. 4在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系曲线C1的极坐标方程为(cossin)2,曲线C2的参数方程为Error!(t为参 数),则C1与C2交点的直角坐标为_ (2 2,4 4) 由(cossin)2,得xy2. 由Error!消去t得y28x. 联立得Error!即交点坐标为(2,4) 5(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为Error!(t为 参数),椭圆C的参数方程为Error!(为参数)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求 线段AB的长 解 椭圆C的普通方程为x21. 2 分 y2 4 将直线l的参数方程Error!代入x21,得 2 1,即 y2 4 (1 1 2t) ( 3 2 t)2 4 7t216t0,8 分 解得t10,t2,所以AB|t1t2|. 10 分 16 7 16 7 参数方程与普通方程的互化 已知直线l的参数方程为Error!(t为参数),圆C的参数方程为Error!(为 参数) (1)求直线l和圆C的普通方程; (2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围 解 (1)直线l的普通方程为 2xy2a0,2 分 圆C的普通方程为x2y216. 4 分 (2)因为直线l与圆C有公共点, 故圆C的圆心到直线l的距离d4,8 分 |2a| 5 解得2a2. 10 分 55 规律方法 1.将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法、加减消元法、三角恒 等变换消去参数 2把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普 通方程中x及y的取值范围的影响,要保持同解变形 变式训练 1 在平面直角坐标系xOy中,若直线l:Error!(t为参数)过椭圆 C:Error!(为参数)的右顶点,求常数a的值 解 直线l的普通方程为xya0, 椭圆C的普通方程为1,4 分 x2 9 y2 4 所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0), 若直线l过椭圆的右顶点(3,0), 则 30a0,所以a3. 10 分 参数方程的应用 已知曲线C:1,直线l:Error!(t为参数) x2 4 y2 9 (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与 最小值. 【导学号:66482486】 解 (1)曲线C的参数方程为Error!(为参数) 直线l的普通方程为 2xy60. 4 分 (2)曲线C上任意一点P(2cos,3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|, 5 5 则|PA|5sin()6|,其中为锐角,且 tan . 8 分 d sin 30 2 5 5 4 3 当 sin()1 时,|PA|取得最大值,最大值为. 22 5 5 当 sin()1 时,|PA|取得最小值,最小值为. 10 分 2 5 5 规律方法 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时,一般是先化为普通方程,再 根据直线与圆的位置关系来解决问题 2对于形如Error!(t为参数),当a2b21 时,应先化为标准形式后才能利用t的 几何意义解题 变式训练 2 (2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 Error!(为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角. 6 (1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程; (2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|PB|的值 解 (1)由Error!消去, 得圆C的普通方程为x2y216. 2 分 又直线l过点P(1,2)且倾斜角, 6 所以l的参数方程为Error!即Error!(t为参数). 4 分 (2)把直线l的参数方程Error!代入x2y216, 得 2216,t2( 2)t110, (1 3 2 t) (2 1 2t)3 所以t1t211,8 分 由参数方程的几何意义,|PA|PB|t1t2|11. 10 分 参数方程与极坐标方程的综 合应用 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 Error!(为参数)以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2 的极坐标方程为sin2. ( 4)2 (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标 解 (1)C1的普通方程为y21,2 分 x2 3 由于曲线C2的方程为sin2, ( 4)2 所以sincos4, 因此曲线C2的直角坐标方程为xy40. 4 分 (2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos,sin) 3 因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,8 分 又d(), | 3cos sin 4| 22|sin( 3)2| 当且仅当2k(kZ Z)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐 62 标为. 10 分 ( 3 2, 1 2) 规律方法 1.参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方 程和直角坐标方程后求解当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程 2数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用和的几 何意义,直接求解,可化繁为简 变式训练 3 (2017石家庄市质检)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 Error!(t为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程 为4sin2cos. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)若直线l与y轴的交点为P,直线l与曲线C的交点为A,B,求|PA|PB|的值 解 (1)直线l的普通方程为xy30, 24sin2cos, 曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y2)25. 4 分 (2)将直线l的参数方程Error!(t为参数)代入曲线C:(x1)2(y2)25,得到 t22t30,8 分 2 t1t23, |PA|PB|t1t2|3. 10 分 思想与方法 1参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等, 经常用到公式:cos2sin21,1tan2. 1 cos2 2利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法 3将参数方程化为普通方程,将极坐标方程化为直角坐标方程,然后在直角坐标系下 对问题求解,化生为熟,充分体现了转化与化归思想的应用 易错与防范 1将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性在消去参数的过程中,要 注意x,y的取值范围 2确定曲线的参数方程时,一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围,必要时 通过限制参数的范围去掉多余的解 3设过点M(x0,y0)的直线l交曲线C于A,B两点,若直线的参数方程为Error!(t为 参数)注意以下两个结论的应用: (1)|AB|t1t2|; (2)|MA|MB|t1t2|.
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