热点专题突破六概率与统计的综合问题1.(2016江西九江一中月考)某中学的高二(1)班男同学有45名,女同学有15名,老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74,第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.1.【解析】(1)P=,每个同学被抽到的概率为,课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3,1.(2)把3名男同学和1名女同学记为a1,a2,a3,b,则选取两名同学的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b),(a2,b),(a3,b),共6种,其中有一名女同学的有3种,选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P=.(3)=71, =71, (68-71)2+(70-71)2+(71-71)2+(72-71)2+(74-71)2=4, (69-71)2+(70-71)2+(70-71)2+(72-71)2+(74-71)2=3.2.第二次做的实验更稳定.2.(2016哈尔滨六中月考)甲乙两个学校高三年级分别有1200人,1000人,为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:甲校:分组70,80)80,90)90,100)100,110)频数34815分组110,120)120,130)130,140)140,150频数15x32乙校:分组70,80)80,90)90,100)100,110)频数1289分组110,120)120,130)130,140)140,150频数1010y3(1)计算x,y的值;(2)若规定考试成绩在120,150内为优秀,请分别估计两个学校数学成绩的优秀率;(3)由以上统计数据填写下面22列联表,并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.甲校乙校总计优秀非优秀总计参考公式:K2=临界值表P(K2k0)0.100.050.010k02.7063.8416.6352.【解析】(1)甲校抽取110=60人,乙校抽取110=50人,故x=10,y=7.(2)估计甲校数学成绩的优秀率为=25%,乙校数学成绩的优秀率为=40%.(3)甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计6050110K2=2.832.706,又因为1-0.10=0.9,故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.3.(2015新课标全国卷)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.3.【解析】(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为,故P(CA1)=,P(CA2)=,P(CB1)=,P(CB2)=,P(C)= =0.48.4.(2016广东实验中学模拟)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩分为A,B,C,D,E五个等级,分别对应5分,4分,3分,2分,1分,该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人.(1)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数;(2)若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.4.【解析】(1)因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人,所以该班有80.2=40人,所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=400.075=3.(2)设两人成绩之和为,则的值可以为16,17,18,19,20,P(=16)=,P(=17)=,P(=18)=,P(=19)=,P(=20)=,所以的分布列为X1617181920P所以E=16+17+18+19+20.所以的数学期望为.5.(2016江西余江一中二模)现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目非你莫属,若甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为 (0t0,P(=2)-P(=0)= 0,P(=2)-P(=3)= 0,又因为0t2,解得t的取值范围是1t2,所以E.6.(2016闽粤联合体联考)某汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表:A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是A型车的概率;(2)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率;(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从A,B两种车型中购买一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.6.【解析】(1)这辆汽车是A型车的概率约为=0.6,所以这辆汽车是A型车的概率为0.6.(2)设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”,“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”,其中i,j=1,2,3,7.则该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3+A2B2+A3B1)=P(A1B3)+P(A2B2)+P(A3B1)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=,所以该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为.(3)设X为A型车出租的天数,则X的分布列为X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02设Y为B型车出租的天数,则Y的分布列为Y1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)=10.05+20.10+30.30+40.35+50.15+60.03+70.02=3.62,E(Y)=10.14+20.20+30.20+40.16+50.15+60.10+70.05=3.48.一辆A类型的出租车一个星期出租天数的均值为3.62天,B类车型一个星期出租天数的均值为3.48天,从出租天数的数据来看,A型车出租天数的方差大于B型车出租天数的方差,综合分析,选择A类型的出租车更加合理.