课时1相似三角形的进一步认识1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边2平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定及性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方4直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积1如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.证明由ABCBAD得ACBBDA，故A，B，C，D四点共圆，从而CABCDB.由ABCBAD得CABDBA，因此DBACDB，所以ABCD.2如图，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，求EC的长度解在RtADB中，DB，依题意得，ADBACE，可得EC2.3如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值解如图，过点D作DGAF，交BC于点G，易得FGGC，又在BDG中，BEDE，即EF为BDG的中位线，故BFFG，因此.题型一平行截割定理的应用例1如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2KEKF.证明延长CK，BA，设它们交于点H，因为KOHB，所以，.因此，即.因为KFHB，同理可得.故，即KO2KEKF.思维升华当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等(1)如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBC，若AD12，BC20，求EF的长度(2)如图所示，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，求AB的长解(1)ADBC，.OEAD，.OEAD12，同理可求得OFBC20，EFOEOF15.(2)DEBC，.又EFCD，.AD3.ABAD.题型二相似三角形的判定与性质例2如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2FBFC.证明E是RtACD斜边上的中点，EDEA，A1，12，2A，FDCCDB2902，FBDACBA90A，FBDFDC，F是公共角，FBDFDC，FD2FBFC.思维升华(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等(1)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知AC，PD2DA2，求PE的长(2)如图，四边形ABCD中，DFAB，垂足为F，DF3，AF2FB2，延长FB到E，使BEFB，连结BD，EC.若BDEC，求四边形ABCD的面积解(1)BCPE，PEDCA，PDEPEA，则PE2PAPD，又PD2DA2，PAPDDA3.PE.(2)如图，过点E作ENDB交DB的延长线于点N，在RtDFB中，DF3，FB1，则BD，由RtDFBRtENB，知，所以EN，又BDEC，所以EN为BCD底边BD上的高，故S四边形ABCDSABDSBCDABDFBDEN336.题型三射影定理的应用例3如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC的长解在ABC中，设AC为x，ABAC，AFBC.又FC1，根据射影定理，得AC2FCBC，即BCx2.再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，即AF2x21，AF.在BDC中，过D作DEBC于E.BDDC1，BEECx2.又AFBC，DEAF，DE.在RtDEC中，DE2EC2DC2，即()2(x2)212，1.整理得x64，x，即AC.思维升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法(1)如图所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，且ADBD94，求ACBC.(2)已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，求AD的长解(1)AC2ADAB，BC2BDAB，AC2BC2ADBD94，ACBC32.(2)如图，连结AC，CB，AB是O的直径，ACB90.设ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2ADDB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.1判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”2直角三角形中常用的四个结论在RtABC中，ACB90，CDAB(如图)：(1)ABCD，BACD.(2)ABCACDCBD.(3)a2pc，b2qc，h2pq，abch(其中cpq)(4)在a、b、p、q、h五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值A组专项基础训练(时间：50分钟)1如图，OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且PO3，PAPB4，求腰长OA的长度解如图，作ODAP，垂足为D，则PO2PD2OB2BD2，所以PO2OB2PD2BD2，因为ADBD，所以PD2BD2PD2AD2(PDAD)(PDAD)PAPB4，所以PO2OB24，所以OB2945，所以OB，所以OA.2如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，求AE的长解由于ACDAEB90，BD，ABEADC，.又AC4，AD12，AB6，AE2.3.如图，RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，若ABAC21，求ADBC.解设ACk，则AB2k，BCk，BAC90，ADBC，AC2CDBC，k2CDk，CDk，又BDBCCDk，AD2CDBDkkk2，ADk，ADBC25.4在ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23，求ACD与CBD的相似比解如图所示，在RtACB中，CDAB，由射影定理得：CD2ADBD，又ADBD23，令AD2x.则BD3x(x0)，CD26x2，CDx.又ADCBDC90，ACDCBD.易知ACD与CBD的相似比为.即相似比为3.5如图所示，在ABC中，CAB90，ADBC于点D，BE是ABC的角平分线，交AD于点F，求证：.证明BE是ABC的角平分线，.在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即.由得，由得.6.如图所示，在RtABC中，ACB90，M是BC的中点，CNAM，垂足是N，求证：ABBMAMBN.证明CM2MNAM，又M是BC的中点，BM2MNAM，又BMNAMB，AMBBMN，ABBMAMBN.B组专项能力提升(时间：30分钟)7.如图所示，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DECD.(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积(1)证明四边形ABCD是平行四边形，AC，ABCD.ABFCEB.ABFCEB.(2)解四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD.DEFCEB，DEFABF.DECD，()2，()2.SDEF2，SCEB18，SABF8.S四边形BCDFSCEBSDEF16.S四边形ABCDS四边形BCDFSABF16824.8.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且BFEC.(1)求证：ABFEAD.(2)若BAE30，AD3，求BF的长(1)证明ABCD，BAFAED.又BFEC，BFEBFACADE，BFAADE.ABFEAD.(2)解BAE30，AEB60，sin 60，又ABFEAD，BFAD.9.如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证：EDMFBM；(2)若DB9，求BM.(1)证明E是AB的中点，AB2EB.AB2CD，CDEB.又ABCD，四边形CBED是平行四边形CBDE，EDMFBM.(2)解EDMFBM，.F是BC的中点，DE2BF.DM2BM，BMDB3.10如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EFAD，假设EF做上下平行移动(1)若，求证：3EF