【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系 文1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2 (k1，k2均存在).()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21 (k1，k2均存在).()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.【知识拓展】1.一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括l2.3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上.()1.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件.答案充分不必要解析(1)充分性：当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40平行；(2)必要性：当直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行时有a2或1.所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件.2.(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_.答案1解析依题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3.已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为_.答案7解析l1的斜率为，在y轴上的截距为，l2的斜率为，在y轴上的截距为.又l1l2，由得，m28m70，得m1或7.m1时，2，l1与l2重合，故不符合题意；m7时，4，符合题意.4.(2014福建改编)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是_.答案xy30解析圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.5.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a_.(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.答案(1)1或2(2)2解析(1)若a0，两直线方程为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0.当a0时，若两直线平行，则有，解得a1或a2.(2)方法一l1l2，k1k21，即1，解得a2.方法二l1l2，a20，a2.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此时两直线的斜率相等.故当k，kZ时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin .所以k，kZ.又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.故当k，kZ时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.题型二两条直线的交点与距离问题例2(1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_.(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_.答案(1)(2)x3y50或x1解析(1)方法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.方法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2).而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.(2)方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.方法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.(1)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.(2)正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.解点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例3过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_.答案解析设A(x，y)，由已知得解得故A.命题点3直线关于直线的对称问题例5已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3).又m经过点N(4,3).由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.