1（已用）数学 构造函数及函数图像解中学数学问题晋城中学 杨学军 庞春艳（13980313400）函数是解决实际问题的有力工具。客观世界是不断运动的、发展变化的，运动的规律、 变化的趋势，需要用变量来刻划，用函数来研究。函数是中学数学的主要内容。无论数、式、方程、不等式都与函数有密切联系，抓住了函数，就抓住了纲，就能 纳举目 张。使用函数图像，数形结合，有利于找到解题思路，有利于提高解题速度和准确程度。1、构造线性函数例 1 已知 ，求证： 。1|,|,1|cba 01cab证：将字母 作为变元，构造函数)()cxf只证 时，1|0(f事实上， )1)cb()(cf又线性函数 是单调函数。 当 时 ， 介于 与 之间，)xf 1x)(xf)1(f(f即当 时 ， 。1|a01(cab例 2 设 ，且 ， ，求证： 。xxf2) 2)(f 4)(f 0)2(5f证： baf)1(解得 )1(2fb2 )1(3)24)( ffbaf将 ， 两式相加，即得 。1610)2(5f2、构造二次函数例 3 已知实数 、 、 满足 ， ，求证 、 、 中必有一个abc1acbabc大于 。2证：易知 、 、 为一正二负，不妨令 ，只证 ， ，c c023ac，则 ， 是 的二根。abc1012ax ，解得 。042234,3例 4 已知关于 的实系数方程 有二实根 ， ，且x0bax，求证 ， 。4|,|2ba|a|证：构造二次函数 ，与 轴交于二点 A（ ，0）,B（ ，0）。xf2)( a只证 A、B 在（ -2 ，2）上，即证 ， ，顶点横坐标 。0)(f)2(f 2|x事实上： ，即 ，即 ， 。又 ba4|ba)f4|b2|ba 。|0axA，B 二点横坐 标 ， 满足 ， 。2|a|例 5 设在 范 围内方程 具有两个不同的解，x 02sin4coax试求 的取值范围。a分析：即 ，在 内有两个不同的解。01sin4si2axx令 ，即 在 内有一个实根。xtn2t1t解 1：作二次函数 2y一次函数 at43在 内有一个公共解，即抛物线与直线系在0 ，1内只有一个1,0t公共点。切线 符合条件，这时 ， ， （舍去）。且当0l 0)1(8)4(2a21a直线位于 ，（连接 AB 二点直线 ），与1 53a2l（连结 AC 二点直线 ）之间时也满足条件（如图）1a 或2a53解 2：作二次函数 aty142 )10(t依题意 在 0 ，1)有一个根，分三种情况讨论：如图左， ， ， （舍去 ）；对图中，0)(8162a21；)(8162a对图右，0, 分别满足：053)1(af 0)1(f 空集无公共解3、构造高次函数例 6 分解因式 ）（ cbacbacbacba )()()()()( 222。)(ac解：以 为变无构造函数 )()()()()()() 222 xcbxcbxcbxcbxf 能被 整除，即 能被 整除。由对称性知 也0f af )(af能被 ， 整除。ca4可令 比较二边系数，可)()()()() 22 cabBcbaAcbaf 得 ， 。故1A2B )(2)()() 2cccf baba例 7 已知实数 、 满足 ，求 的值。xy05)4(9yxyxyx5解： yx994）（令 ，则 ，又 ， 是 R 上奇函数。ttf)()(yxf)(xf)(tftf )yx 05,44、构造其他函数例 8 已知 ， ，试求方程 有解的 的取值a1 ）（ 22log)(logaxakxak范围。解 1： （1）02xk作 （2）ay)(y2x即 （3）)0(2y（1）有解，即直线束（2）与双曲线（3）有交点。 x（2）的横截距 满足 或 ，即 或 ，如上图。akaak010k解 2： 2x)()(2kkx， ，a012 0)1(k),0(,(k5例 8 求证 ， 时， 。3nN1)(n证法 1：比值法。构造 ，只证1)()nf 1)(nf 12/)()(nnf 12n故 单调减少，又 ， 。)(nf 34)(f 1)(nf证法 2：差值法。 121)()()1( nnfnf 0)(2121nn 时，3134)(1ffn证法 3：取对数法。只证 nn1)(l)(只证 )(13令 ，只证 是单减函数。nf)(f0)(2 e 1)()(1nff )3(反推回去，可得 。推论：若 ，则 ，这说明指数比底数更起作用。baeba