课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数层级一学业水平达标1当函数yx2x取极小值时，x()A.BCln 2 Dln 2解析：选B由y2xx2xln 20，得x.2设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选D由f(x)0可得x2.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点3已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)解析：选B因为函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，又f(x)6x22ax36，所以f(2)0解得a15.令f(x)0，解得x3或x2，所以函数的一个递增区间是(3，)4设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：选C由题意可得f(2)0，而且当x(，2)时，f(x)0，此时xf(x)0；排除B、D，当x(2，)时，f(x)0，此时若x(2,0)，xf(x)0，若x(0，)，xf(x)0，所以函数yxf(x)的图象可能是C.5已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.，0 B0，C，0 D0，解析：选Af(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0得，解得f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10得x或x1，易得当x时f(x)取极大值.当x1时f(x)取极小值0.6函数y的极大值为_，极小值为_解析：y，令y0得1x1，令y0得x1或x1，当x1时，取极小值1，当x1时，取极大值1.答案：117已知函数f(x)x33x的图象与直线ya有相异三个公共点，则a的取值范围是_解析：令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，yf(x)的大致图象如图，观察图象得2a2时恰有三个不同的公共点答案：(2,2)8.已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)如图，则下列说法中不正确的是_(填序号)当x时，函数f(x)取得最小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数值取得极小值；当x1时函数取得极大值解析：由图象可知，x1,2是函数的两极值点，正确；又x(，1)(2，)时，y0；x(1,2)时，y0，x1是极大值点，x2是极小值点，故正确答案：9设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR，求f(x)的单调区间与极值解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)；且f(x)在xln 2处取得极小值极小值为f(ln 2)2(1ln 2a)，无极大值10已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由解：(1)由已知，f(x)3ax22bxc，且f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.a，b0，c.(2)由(1)知f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，a6.3对于函数f(x)x33x2，给出命题：f(x)是增函数，无极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的递增区间为(，0)，(2，)，递减区间为(0,2)；f(0)0是极大值，f(2)4是极小值其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选Bf(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得0x2，所以f(x)的极大值为f(0)0，极小值为f(2)4，故错误，正确4已知函数f(x)ex(sin xcos x)，x(0,2 017)，则函数f(x)的极大值之和为()A. B.C. D.解析：选Bf(x)2exsin x，令f(x)0得sin x0，xk，kZ，当2kx0，f(x)单调递增，当(2k1)x2k时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(2k1)时，f(x)取到极大值，x(0,2 017)，0(2k1)2 017，0k1 008，kZ. f(x)的极大值之和为Sf()f(3)f(5)f(2 015)ee3e5e2 015，故选B.5若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_解析：y3x212x3x(x4)由y0，得x0或4.且x(，0)(4，)时，y0；x(0,4)时，y0，x4时取到极大值故6496m13，解得m19.答案：196若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_解析：由题意，f(x)3x22xa，则f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，解得1a5，另外，当a1时，函数f(x)x3x2x4在区间(1，1)上恰有一个极值点，当a5时，函数f(x)x3x25x4在区间(1,1)没有极值点故实数a的范围为1,5)答案：1,5)7设函数f(x)x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的两个根分别为1,4.(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，求a的取值范围解：由f(x)x3bx2cxd得f(x)ax22bxc，f(x)9xax22bxc9x0的两根为1,4.则(*)(1)当a3时，由(*)式得解得b3，c12.又曲线yf(x)过原点，d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以“f(x)x3bx2cxd在(，)内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立”由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)，解得1a9.即a的取值范围是1,98已知f(x)2ln(xa)x2x在x0处取得极值(1)求实数a的值(2)若关于x的方程f(x)b0的区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围解：(1)f(x)2x1，当x0时，f(x)取得极值，所以f(0)0，解得a2，检验知a2符合题意(2)令g(x)f(x)b2ln(x2)x2xb，则g(x)2x1(x2)g(x)，g(x)在(2，)上的变化状态如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)2ln 2b由上表可知函数在x0处取得极大值，极大值为2ln 2b.要使f(x)b0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，只需即所以2ln 2b22ln 3.故实数b的取值范围是(2ln 2,22ln 3