资源预览内容
第1页 / 共17页
第2页 / 共17页
第3页 / 共17页
第4页 / 共17页
第5页 / 共17页
第6页 / 共17页
第7页 / 共17页
第8页 / 共17页
第9页 / 共17页
第10页 / 共17页
亲,该文档总共17页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第九章 平面解析几何 9.6 双曲线教师用书 理 苏教版1.双曲线定义平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1MF2|2a,F1F22c,其中a,c为常数且a0,c0.(1)当2aF1F2时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e,e(1,),其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长A1A22a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长B1B22b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0,cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()(5)若双曲线1(a0,b0)与1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).()1.(教材改编)若双曲线1 (a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为_.答案解析由题意得b2a,又a2b2c2,5a2c2.e25,e.2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y216x的准线交于A,B两点,AB4,则C的实轴长为_.答案4解析由题设C:1.抛物线y216x的准线为x4,联立1和x4,得A(4,),B(4,),AB24,a2,2a4.C的实轴长为4.3.(2016无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为yx,那么双曲线的离心率为_.答案解析根据题意,设双曲线的方程为1,则,所以 ,即双曲线的离心率为.4.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线1的焦距是_.答案2解析由已知,a27,b23,则c27310,故焦距为2c2.5.双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于_.答案解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0),一条渐近线方程是yx,即x2y0,则顶点到渐近线的距离d.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程例1已知圆C1:(x3)2y21和圆C2:(x3)2y29,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得MC1AC1MA,MC2BC2MB,因为MAMB,所以MC1AC1MC2BC2,即MC2MC1BC2AC12,所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C26.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a1,c3,则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)虚轴长为12,离心率为;(2)焦距为26,且经过点M(0,12);(3)经过两点P(3,2)和Q(6,7).解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0,b0).由题意知,2b12,e.b6,c10,a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a12.又2c26,c13,b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左,右焦点,点P在C上,PF12PF2,则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有PF1PF2PF22a2,PF12PF24,则cosF1PF2.引申探究1.本例中,若将条件“PF12PF2”改为“F1PF260”,则F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则PF1PF22a2,在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2,所以PF1PF28,所以PF1PF2sin 602.2.本例中,若将条件“PF12PF2”改为“0”,则F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则PF1PF22a2,由于0,所以,所以在F1PF2中,有PFPFF1F,即PFPF16,所以PF1PF24,所以PF1PF22.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1PF2|2a,运用平方的方法,建立与PF1PF2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为(0),再由条件求出的值即可.(1)已知F1,F2为双曲线1的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则APAF2的最小值为_.(2)设F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左,右焦点,双曲线上存在一点P使得PF1PF23b,PF1PF2ab,则该双曲线的离心率为_.答案(1)2(2)解析(1)由题意知,APAF2APAF12a,要求APAF2的最小值,只需求APAF1的最小值,当A,P,F1三点共线时,取得最小值,则APAF1PF1,APAF2的最小值为APAF12a2.(2)不妨设P为双曲线右支上一点,PF1r1,PF2r2.根据双曲线的定义,得r1r22a,又r1r23b,故r1,r2.又r1r2ab,所以ab,解得(负值舍去),故e.题型二双曲线的几何性质例4(1)(2016盐城三模)若圆x2y2r2过双曲线1的右焦点F,且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A,B,当四边形OAFB为菱形时,双曲线的离心率为_.(2)(2015山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x22py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为_.答案(1)2(2)解析(1)若四边形OAFB为菱形,且点A在圆x2y2r2上,则点A坐标为(,c),此时rc.又点A在渐近线上,所以c,即,所以e 2.(2)由题意,不妨设直线OA的方程为yx,直线OB的方程为yx.由得x22p x,x,y,A.设抛物线C2的焦点为F,则F,kAF.OAB的垂心为F,AFOB,kAFkOB1,即1,.设C1的离心率为e,则e21.e. 思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线1(a0,b0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2016全国甲卷改编)已知F1,F2是双曲线E:1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则E的离心率为_.答案解析离心率e,由正弦定理得e.题型三直线与双曲线的综合问题例5(2016苏州模拟)已知椭圆C1的方程为y21,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点.(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围.解(1)设双曲线C2的方程为1(a0,b0),则a2413,c24,再由a2b2c2,得b21.故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21,得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2有两个不同的交点,得k2且k22,得x1x2y1y22,2,即0,解得k23,由得k21.故k的取值范围为(1,)(,1).思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A,B两点若2,则直线l的斜率为_答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则1,1.又2,(x1,1y1),(x2,y21)所以即代入双曲线方程联立解得或所以A(4,3),B(2,0)或A(4,3),B(2,0),故k或k,即直线l的斜率为.10.直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x21,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号