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浅议函数的奇偶性王店中学 彭衍军内容摘要:本文主要探讨函数的奇偶性的定义、性质及其判断、函数按奇偶性的分类,奇偶函数的图像特征以及函数奇偶性的应用等方面内容。关 键 词:奇函数 偶函数 函数的奇偶性 对称数集函数的奇偶性是函数的重要性质之一,也是每年高考的重点和热点内容之一。它在代数,三角函数以及高等数学中有着广泛的应用。一、关于函数的奇偶性的定义高中代数新教材(上册)(以下称教材)第61页,定义如下:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就称偶函数;一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就称奇函数;定义说明:上述定义可等价地叙述为:对于函数的定义域内任意一个: 是偶函数;奇函数;理解定义是应用概念的前提,在教学中应注意引导学生认识以下两点:、定义中要求“对于函数的定义域内任意一个,都有”成立,可见必有意义,即 也属于的定义域,即自变量的取值要保持任意性。于是有,奇(偶)函数的定义域是一个对称数集(在数轴上表示为关于原点对称的点集)。如果将教材中函数,的定义域分别改为与,学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。也就是说:若一个函数的定义域不对称,则此函数不是奇(偶)函数,所以说,函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。、定义中的等式(或)是定义域上的恒等式,而不是对部分成立。如:函数 尽管当时,都有,但它并是非偶函数。二、函数的奇偶性的几个性质、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称;、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立;、可逆性: 是偶函数;奇函数;、等价性:、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断 由前面可知,函数奇偶性的因素有两个:定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数的奇偶性大致有下列两种方法:第一种方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查是否与、 相等,判断步骤如下:定义域是否关于原点对称;数量关系哪个成立;( 、分别是函数具有奇偶性的两个必要条件,若两个条件同时成立,联袂作用,使成为充要条件。)具体步骤如下:若定义域不对称,则为非奇非偶函数;若定义域对称,则有成为奇(偶)函数的可能,到底怎样,取决于数量关系怎样成立?若成立,则为偶函数;若成立,则为奇函数;若成立,则为既是奇函数也是偶函数;若都不成立,则为非奇非偶函数。例1:判断下列各函数是否具有奇偶性 、(教材) 、 (教材)、 、 、 、解:为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注:教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2:判断函数的奇偶性学生解答:的定义域是,当时,有是偶函数。其实上速的解答是不完整的,事实上,且既是奇函数也是偶函数。由此例题说明:若的定义域是对称数集且表达式较复杂,在能化简时后再按定义进行判断。例3:判断函数的奇偶性学生解答:的定义域是,当时,有 且为非奇非偶函数,由而断言且太草率了,事实上, 为奇函数这个错误的做法,告诉我们,当的表达式较为复杂且不易化简时,直接判断并不容易,怎么办?2、由此例题说明:若的定义域是关于对称数集,若用定义判断较难不易化简时,可等价地验证或当时,验证是否成立?如例2:我们有: 为奇函数在三角函数中更能体现前面所提到的两点。例如:判断的奇偶性有两条途径。(1)化简得到后知其为奇函数;(2)时,易得,从而为奇函数。例4:判断函数的奇偶性。 第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集):两个奇函数的代数和是奇函数;两个偶函数的和是偶函数;奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数;两个奇函数的积为偶函数;两个偶函数的积为偶函数;奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有定义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数,如f(x)=x(x-1,1),g(x)=x(x-2,2),可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数,它们的差只在区间-1,1上有定义且f(x)-g(x)=0,而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3 f(x)是任意函数,那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面,对于函数|f(x)|=不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x);另一方面,对于一个任意函数f(x)而言,不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数f(|x|)是偶函数。命题4 如果函数f(x)满足:|f(x)|=|f(-x)|,那么函数f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数f(x)= 从图像上看,f(x)的图像既不关于原点对称,也不关于y轴对称,故此函数非奇非偶。命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6 已知函数f(x)是奇函数,且f(0)有定义,则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数,方程f(x)=0有实根,那么方程f(x)=0的所有实根之和为零;若f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若f(x0)=0,则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说,必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类 由前面可知,全体实函数可按奇偶性分为四类:奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征教材第62、63页给出奇偶函数的图像的特征:一般地:奇函数的图像关于原点对称,反过来,如果一个函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数;偶函数的图像关于轴对称,反过来,如果一个函数的图像关于轴对称,那么这个函数是偶函数。例5:已知偶函数在轴右则时的图像如图(一)试画出函数轴右则的图像。解:由偶函数关于轴对称图形得到:根据奇函数图像的对称性,从自变量取正值时的图像和性质,右以推测判断自变量取负值时的图像和性质。根据教材例5、例6、63页第2题、65页第8题,于是可以得到以下这个结论:奇函数对称区间上的单调性相同,偶函数对称区间上的单调性相反。(证略)七、关于函数奇偶性的简单应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一,也是每年高考的重点和热点内容之一,利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小,求函数的解析式,讨论函数的单调性,求参数的值等。现分别举例说明如下:1、利用奇偶性求函数值例6:已知且,那么解:设,则为奇函数,于是有,从而有即: 令,得,又,故2、利用奇偶性比较大小例7:已知偶函数在上为减函数,比较,的大小。解: 偶函数在上为减函数在上为增函数,又,利用奇偶性求解析式例8:已知为偶函数,求的解析式?4、利用奇偶性讨论函数的单调性例9:若是偶函数,讨论函数的单调区间? 5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例10:已知函数是偶函数,判断的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值 例11:定义在R上的偶函数在是单调递减,若,则的取值范围是如何?又 即或7、利用奇偶性求代数式的值例12:已知,求的值解:已知条件可变形为(1)根据(1)式的结构特征,可构造函数是奇函数。(1)式可写成(2)又是增函数,由(2)式有,8、利用奇偶性解方程例13:在实数范围内解方程解:原方程可化为:(1)令则(1)式变形为(2)设,则(2)式可变形为函数是奇函数,又是增函数,原方程的解为9、利用奇偶性证明不等式例14:求证证明:根据不等式的结构特点,构造函数易证是偶函数由于当时,从而于是当时,故当时,恒有八、结束语:参考文献:胡炯涛 数学教学论 广西教育出版社 1996年 233234任志鸿高中同步测控优化设计王子兴 数学方法论 湖南师范大学出版社 1997年6月
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