2019/4/5,1,作业,P236 习题8.2 9.11.13.25.26.28. 35.39.41.47.,2019/4/5,2,第二十二讲 常微分方程（二）,一、一阶线性方程,三、可利用微分形式求解的方程,二、伯努利(Bernoulli)方程,四、积分因子,2019/4/5,3,一、 一阶线性微分方程,2019/4/5,4,性质1：,性质2：,性质3：,2019/4/5,5,性质4：,性质5：,2019/4/5,6,(1) 如何解齐次方程？,非齐次,齐次,可分离型！,标准形式：,什麽类型？,一阶线性微分方程,2019/4/5,7,分离变量,是p(x)一个原函数不是不定积分！,齐次通解,解得,注意：,齐次通解的结构：,2019/4/5,8,(2)用常数变异法解非齐次方程,假定(1)的解具有形式,将这个解代入(1) , 经计算得到,2019/4/5,9,化简得到,即,2019/4/5,10,积分,从而得到非齐次方程(1)的通解,非齐次通解,或,2019/4/5,11,非齐次通解的结构：,特解,非齐次特解,2019/4/5,12,2019/4/5,13,这是线性方程吗？,是关于函数 x=x(y) 的一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,齐次方程通解是,2019/4/5,14,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程的解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,2019/4/5,15,证,2019/4/5,16,2019/4/5,17,Bernoulli 方 程,二、伯努利(Bernoulli)方程,2019/4/5,18,Bernoulli 方 程,线性 方程,2019/4/5,19,解,2019/4/5,20,解线性方程,相应的齐次方程,(2)的通解,设(1)的解为,代入(1),计算化简得到,2019/4/5,21,2019/4/5,22,三、 可利用微分形式求解的方程,利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式.,例如,2019/4/5,23,2019/4/5,24,解,通解,凑微分,2019/4/5,25,通解为,解,改写为,2019/4/5,26,通解为,解,2019/4/5,27,问: 能否直接通过凑微分求解？,不能,问: 能否变为可通过凑微分求解的方程？,试试看,2019/4/5,28,(六)积分因子,2019/4/5,29,通解,积分因子,可能会丢解！,解,2019/4/5,30,解,通解,2019/4/5,31,小结,1. 解、通解、特解、定解问题,2. 一阶微分方程可积类型,可分离型、,一阶线性、,利用微分形式、,思想：方程变形变量代换,可化为可分离、,伯努利方程、,积分因子,