陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，6，则A. 2，B. 6，C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出【详解】集合2，3，6，6，9，18，2，故选：D【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，从而得到，【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，则，故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应的点在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案【详解】由题意可得，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限故选：B【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4.设为所在平面内一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由利用平面向量几何运算的三角形法则，可得，化简即可得结果.【详解】因为，所以，可得，化为，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算，属于基础题向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.5.张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织 尺布，则 ，解得 ，所以 ，故选C.6.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为，则A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反【答案】A【解析】【分析】根据相关系数知相关系数的性质：，且越接近1，相关程度越大；且越接近0，相关程度越小为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，与r的符号相同故选：A【点睛】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于时，表示两个变量有很强的线性相关关系7.如果对定义在R上的奇函数，对任意两个不相邻的实数，所有，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题8.已知正三棱柱的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点，则该蚂蚁走过的最短路径为A. B. 25C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得故选：B【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法9.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到的图象若，且，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，故的最大值为2，最小值为0，若，则，或舍去故有，即，又，则，则取得最大值为故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题10.已知圆C：，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为（ ）A. B. C. 2D. 2【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，是等边三角形，D是AB的中点，在圆C：中，圆C的半径为，在等边中， ，故选C方法二：设，则，记，令 ，得，故选C考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值11.抛物线在第一象限内图像上一点处的切线与x轴交点的横坐标即为，其中，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以考点：1导数的几何性质；2等比数列12.已知双曲线的右焦点为，若C的左支上存在点M，使得直线是线段的垂直平分线，则C的离心率为A. B. 2C. D. 5【答案】C【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径等边的一边AB为圆C的一条弦，可得的最大值为直径，即可得出结论【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，即有，OP为的中位线，可得，可得，即为，即，可得故选：C【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定的最大值为直径是关键二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且，则_【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题14.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】10【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线l：，当直线l经过点A时，取得最大值，由，得点A的坐标为，所以的最大值为：10故答案为：10【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力15.设函数，则函数_【答案】【解析】【分析】推导出函数，由此能求出结果【详解】函数，函数故答案为：【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为_【答案】4【解析】【分析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理，得出，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值【详解】设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的体积为，其中，构造函数，其中，则，令，得当时，；当时，所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则因此，该正四棱柱的体积的最大值为4【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为，且求角A的大小；求的面积的最大值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：由于，所以：，整理得：，所以：【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，求证：平面平面PBD；求三棱锥的体积【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】过点B作于H，证明，通过直线与平面垂直的判定定理证明平面PBD；求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥的体积【详解】证明：在直角梯形ABCD中，过点B作于H，在中，有，又在中，有，平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，平面ABCD，又，平面PBD，平面PBD，平面PBD，又平面PBC，平面平面PBD；解：，且平面PAB，平面PAB，则平面PAB，在中，由，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为在中，由，且F为PA的中点，可得【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19.从某企业生产的某种产品中