2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 1 页 共 1 页 2018 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 2018.4 1、80 3,5,7,9,11,13,15,17C 2、 8 9 （极化恒等式或建系） 3、由(1)(4)1f xf x得周期10T , 所以 11 (2018)(8) (3)2 ff f 4、 因为 1sin sin2 sin3cos cos2 cos3sin sin2 sin3cos cos2 cos3 sin sin2cos cos2max cos, cos31 xxxxxxxxxxxx xxxxxx 所以cos31x 或cos1x 若cos31x ，则sin30x，从而cos1x ；若cos1x ， 得,xkx kZ，经检验满足条件 5、由题意可得( )f xxax无解，不然 2018( ) fxx也有解，所以 1 4 a 6、由 2 2cos11q 可得0,1,1abc，所以 ( )21312f xxxx （几 何意义易得） 7、 由不等式 1xxx 得 611011516 10 15 3061015xxxxxxxxxx 即03x，再分段讨论可得最小解为 1 5 方法 2:设,0,29 30 k xmm kZk且, 则原方程转化为 532 kkk km，最 小正解为0,6mk 8、 1 sin1,2cos 2 （周期为p，所以只需考虑0, xp上的值域，去绝对值后和差化积） 9、7 画图 10、因为, ,a b c是整数，所以(0)1,(1)1fcfabc ，且必存在 0 (0,1)x ，使得 2 000 ()0f xaxbxc ，消去, a c得 222222 0000000000 0(1)(1)(1)(1)(1)axbxcbc xbxcb xbxxcb xbxx 故 2 00 1 4b xx ，即5b 方法 2：由题意可得 2 (0)1,(1)1,01,40 2 b fcfabcbac a ，消去 , a c有 2 40bb，解得5b 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 2 页 共 2 页 11、 （1）1b ， 1 ( )log 1 a x f x x ( )f x的定义域为(,1)(1,) ； （2）假设存在实数a，使得( )f x的定义域为 , m n，值域为1log,1log aa nm， 由mn，及1log1log aa nm ，得01a， ( )1log,( )1log aa f mm f nn ， ,m n是方程( )1logaf xx 的两个根， 化简得 2 (1)10axax 在(1,)上有两不同解， 设 2 ( )(1)1g xaxax ，则 (1)0 1 1 2 0 g a a ，解得032 2a 存 在 实 数(0,32 2)a， 使 得( )f x的 定 义 域 为 , m n， 值 域 为 1log,1log aa nm 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 3 页 共 3 页 12、 （1） 1 ( )sin(2) 62 f xx p w，而周期 2 2 T p p w ，所以1w ，即 1 ( )sin(2) 62 f xx p ，所以单调增区间为(,), 36 kkkZ pp pp； （2）由题意可得 1 sin(2) 63 p a，所以 737 sin(4 )sin(2(2)cos(2(2) 62669 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 4 页 共 4 页 13、 （1）令0xy得(0)0f； （ 2） 令 2 x p 有()() 22 fyfy pp ，即( )f x关于 2 x p 对称 ，令0x有 ( )()0f yfy，所以()( )0fyf yp ，即( )f x的周期为2p 又当(0,) 2 x p 时，( )()0f xfxp，故( )0f x 的根为xkp， 由 5 (3 )(2 )2 ( )cos0 22 xx fxfxf得 5 ( )0cos0 22 xx f或， 所以 +2 2, 5 k xkkZ或p p p 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 5 页 共 5 页 14、 （1）设 ,0 ,cos,sinarbRR ,其中12,23rR, 则 2222 2222 (cos )( sin)(cos )( sin ) 2cos2cos ababrRRrRR rRRrrRRrt bbbb bb 记为 则 22222222222222 2()2 ()4cos2()2 ()52trRrRR rrRrRb 22222222222222222 2()2 ()4cos2()2 ()4416trRrRR rrRrRR rRb 故 2 1652t，即42 13t 方法 2： 如图,OBb OAa ， 即求2()OCCB的最值， 当, b a 定 的情况下，C的轨迹是以,O B为焦点椭圆， 2 a CD ，考虑离心 率e，再让, b a 动，易得2, 13OCCB （2）由4ab 平方得： 22 16 162 22 ab a b a b ，所以4a b ，当且仅当 4ab ，且a 与b 同向时等号成立，即当且仅当a 与b 同向，且2ab 时等号成 立. 方法 2：设cos , sin,cos,sinarrbRR ，其中 12,23rR由4ab 平方得： 22 coscossinsin16rRrR. 所以： 22 16 cos 2 rR Rr ， 即 22 16 2 rR a b ， 下同解法一. 方法 3： 222 11 4 44 a bababab ， 当且仅当a 与b 同向， 且2ab 时等号成立. C D O B A 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 6 页 共 6 页 方法 4：由已知条件易得：要使a b 达到最大，令2a ，由图示可知，要使 23,34bab 同时满足，则b 在a 方向上的投影长度的最大值为2，所以 4a b ，当且仅当a 与b 同向，且2ab 时等号成立. 2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 7 页 共 7 页 15、 （1）0a ； （2）即存在实数m,使得关于x方程 1 ( ) 4 xf xm在 2,2上有6个互不相同的解，设 2 2 (1) , ( )( ) (1) , xax xa g xxf x xax xa ， 当22aa或时， 1 ( ) 4 g xm在 2,2上不可能有6个互不相同的解； 当21a 时， 有 11 22 22 aa a ， 此时( )g x在( 2, )a递增， 1 ( ,) 2 a a 递 减， 1 (,2) 2 a 递增，因为 2 167 ()( 2)0 24 aaa ff ，(2)( )ff a，所以要使 得 1 ( ) 4 g xm在 2,2上 有6个 互 不 相 同 的 解 ， 只 需 1 ( )( 2) 2 f af， 解 得 3 1 2 a； 当11a 时 ， 有 11 22 22 aa a ， 此 时( )g x在 1 ( 2,) 2 a 递 增 ， 11 (,) 22 aa 递 减 ， 1 (,2) 2 a 递 增 ， 因 为 2 167 ()(2)0 24 aaa ff ， 1 ()( 2) 2 a ff ，所以要使得 1 ( ) 4 g xm在 2,2上有6个互不相同的解，只需 111 ()() 222 aa ff ，解得0a； 当12a时， 有 11 22 22 aa a ， 此时( )g x在 1 ( 2,) 2 a 递增， 1 (, ) 2 a a 递 减，( ,2)a递增，此时 1 ()(2) 2 a ff ，所以要使得 1 ( ) 4 g xm在 2,2上有6个互不相同 的解，只需 1 (2)( ) 2 ff a，解得 3 1 2 a； 故当 33 22 a且0a时，存在实数m,使得关于x方程 1 ( ) 4 xf xm在 2,2上有6个 互不相同的解.