江苏省南通市、泰州市江苏省南通市、泰州市 20182018 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 数学数学 2018 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试(四四) 数数 学学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式： 柱体的体积公式：V柱体Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高 一、一、 填空题：本大题共填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 1. 已知集合 A1，0，a，B0，若 BA，则实数 a 的值为_ a 2. 已知复数 z，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的实部为_ 14i 1i 3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为 400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层 抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 65 的样本，则应从高三年级抽取_名学生 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为_ 5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作 4 个社团中随机选择 2 个，则数学建模社 团被选中的概率为_ 6. 若实数 x，y 满足则 2xy 的最大值为_ y 1， y 3， xy1 0，) 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 为抛物线 y28x 的焦点，则点 F 到双曲线1 的渐近线的 x2 16 y2 9 距离为_ 8. 在各项均为正数的等比数列an中，若 a21，a8a66a4，则 a3的值为_ 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 ysin的图象向右平移 个单位长度，若平 (2x 3) (0 b0)的离心率为，两条准线之间的距离为 4. x2 a2 y2 b2 2 22 (1) 求椭圆的标准方程； (2) 已知椭圆的左顶点为 A，点 M 在圆 x2y2 上，直线 AM 与椭圆相交于另一点 B，且AOB 的面积 8 9 是AOM 的面积的 2 倍，求直线 AB 的方程 18. (本小题满分 16 分) 如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为 80m 的正方形 ABCD，另一部分是以 AD 为直径的 半圆，其圆心为 O.规划修建的 3 条直道 AD，PB，PC 将广场分割为 6 个区域：、为绿化区域(图中阴 影部分)，、为休闲区域，其中点 P 在半圆弧上，AD 分别与 PB，PC 相交于点 E，F.(道路宽度忽略不 计) (1) 若 PB 经过圆心，求点 P 到 AD 的距离： (2) 设POD，. (0， 2) 试用 表示 EF 的长度； 当 sin 为何值时，绿化区域面积之和最大 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 g(x)x3ax2bx(a，bR)有极值，且函数 f(x)(xa)ex的极值点是 g(x)的极值点，其中 e 是自 然对数的底数(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求 b 关于 a 的函数关系式； (2) 当 a0 时，若函数 F(x)f(x)g(x)的最小值为 M(a)，证明：M(a)k)恒成立，则称数列an是“R(k)数列” (1) 已知 an判断数列an是否为“R(2)数列”，并说明理由； 2n1，n为奇数， 2n， n为偶数，) (2) 已知数列bn是“R(3)数列”，且存在整数 p(p1)，使得 b3p3，b3p1，b3p1，b3p3成等差数列，证明： bn是等差数列 2018 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试(四四) 数学附加题数学附加题 (本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小 题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 41：几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图，已知O1的半径为 2，O2的半径为 1，两圆外切于点 T.点 P 为O1上一点，PM 与O2切于点 M. 若 PM，求 PT 的长 3 B. 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知 xR，向量是矩阵 A的属于特征值 的一个特征向量，求 与 A1. 0 1 1 x 0 2 C. 选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 与曲线(t 为参数)相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 xt1， yt21) D. 选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知 a1，b1，求的最小值 b2 a1 a2 b1 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22. (本小题满分 10 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，AP，AB，AD 两两垂直，BCAD，且 APABAD4，BC2. (1) 求二面角 PCDA 的余弦值； (2) 已知点 H 为线段 PC 上异于 C 的点，且 DCDH，求的值 PH PC 23. (本小题满分 10 分) (1) 用数学归纳法证明：当 nN*时，cosxcos2xcos3xcosnx (xR，且 sin(n1 2)x 2sin1 2x 1 2 x2k，kZ)； (2) 求 sin2sin3sin4sin2 018sin的值. 6 2 6 3 6 4 6 2 018 6 2018 届南通、泰州高三年级第一次模拟考试届南通、泰州高三年级第一次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 1. 1 2. 3. 25 4. 10 5. 6. 5 7. 3 2 1 2 6 5 8. 9. 10. e2 11. 2 12. 44 3 6102 13. 3 14. (1，) 2 ( 51 2 ，1) 15. 解析：(1) 在ABN 中，M 是 AB 的中点， D 是 BN 的中点， 所以 MDAN.(3 分) 因为 AN平面 PAC，MD平面 PAC， 所以 MD平面 PAC.(6 分) (2) 在ABC 中，CACB，M 是 AB 的中点， 所以 ABMC.(8 分) 因为 ABPC，PC平面 PMC，MC平面 PMC，PCMCC， 所以 AB平面 PMC.(11 分) 因为 AB平面 ABN， 所以平面 ABN平面 PMC.(14 分) 16. 解析：(1) 在ABC 中，根据余弦定理及 a2b2c2bc 得，cosA . b2c2a2 2bc 1 2 因为 A(0，)，所以 A.(3 分) 3 在ABC 中，由正弦定理得 a sinA b sinB sinB sinA.(6 分) b a 2 15 3 2 5 5 (2) 因为 abb， 15 2 所以 AB，即 00， 所以 3(a1)22a(a1)b0， 化简得 ba24a3.(4 分) 由 4a212b4a212(a1)(a3)0 得 a ， 3 2 所以 ba24a3.(6 分) (a 3 2) (2) 因为 F(x)f(x)g(x)(xa)ex(x3ax2bx)， 所以 F(x)f(x)g(x)(xa1)ex3x22ax(a1)(a3) (xa1)ex(xa1)(3xa3) (xa1)(ex3xa3)(8 分) 记 h(x)ex3xa3，则 h(x)ex3， 令 h(x)0，解得 xln 3. h(x)，h(x)随 x 的变化列表如下： 所以当 xln3 时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时 h(ln3)eln 33ln3a363ln3a 3(2ln3)a3lnaa0.(10 分) e2 3 令 F(x)0，解得 xa1. F(x)，F(x)随 x 的变化列表如下： 所以当 xa1 时，F(x)取得极小值，也是最小值， 所以 M(a)F(a1)(a1a)ea1(a1)3a(a1)2b(a1) ea1(a1)2(a2)(12 分) 令 ta1，则 t5， 所以 m(t)0，所以 m(t)单调递增(14 分) 所以 m(t)0，所以 an1an.(2 分) an2an22(n2)12(n2)12(2n1)2an；(4 分) 当 n 为偶数时，an1an2(n1)2n20，所以 an1an. an2an22(n2)2(n2)4n2an. 所以数列an是“R(2)数列”(6 分) (2) 由题意可得 bn3bn32bn， 则数列 b1，b4，b7，是等差数列，设其公差为 d1， 数列 b2，b5，b8，是等差数列，设其公差为 d2， 数列 b3，b6，b9，是等差数列，设其公差为 d3.(8 分) 因为 bnbn1，所以 b3n1b3n2b3n4， 所以 b1nd1b2nd2b1(n1)d1， 所以 n(d2d1)b1b2， n(d2d1)b1b2d1. 若 d2d1时，不成立； b1b2 d2d1 若 d2d10，则当 n时，不成立 b1b2d1 d2d1 若 d2d10，则和都成立，所以 d1d2. 同理得 d1d3，所以 d1d2d3，记 d1d2d3d.(12 分) 设 b3p1b3p3b3p1b3p1b3p3b3p1， 则 b3n1b3n2b3p1(np)db3p1(np1)d b3p1b3p1dd.(14 分) 同理可得 b3nb3n1b3n1b3nd，所以 bn1bnd. 所以bn是等差数列(6 分) 另解：b3p1b3p3b2(p1)db3(p2)db2b3d， b3p1b3p1b1pdb2(p1)db1b2d， b3p3b3p1b3pd(b1pd)b3b1， 以上三式相加可得 32d，所以 d，(12 分) 2 3 所以 b3n2b1(n1)db1(3n21) ， d 3 b3n1b2(n1)db1d(n1)db1(3n11) ， d 3 b3nb3(n1)db1(n1)db1(3n1) ， d 3 所以 bnb1(n1) ，所以 bn1bn ， d 3 d 3 所以数列bn是等差数列(16 分) 21. A. 解析：延长 PT 交O2于点 C， 连结 O1P，O2C，O1O2，则 O1O2过点 T. 由切割线定理得 PM2PCPT3. 因为O1TPO2TC， O1TP 与O2TC 均为等腰三角形，(5 分) 所以O1TPO2TC，所以2， PT CT PO1 CO2 所以 ，即 PC PT. PT PC 2 3 3 2 因为 PCPT PTPT3，所以 PT.(10 分) 3 22 B. 解析：由已知得