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甘肃省兰州市2018届高三一诊数学(理)试题含答案www.ks5u.com兰州市2018年高三诊断考试数学(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,集合,则( )A B C D2.已知复数(是虚数单位),则下列说法正确的是( )A复数的实部为 B复数的虚部为C复数的共轭复数为 D复数的模为3.已知数列为等比数列,且,则( )A B C D4.双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A B C D5.在中,是的中点,点在上且满足,则等于( )A B C D6.数列中,对任意,有,令,则( )A B C D7.若的展开式中各项的系数之和为,则分别在区间和内任取两个实数,满足的概率为( )A B C D8.刘徽九章算术注记载:“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二,这相同的两块叫做堑堵,沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积之比为定值,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为( )A B C D9.某程序框图如图所示,则程序运行后输出的的值是( )A B C D10.设:实数,满足;:实数,满足,则是的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件11.已知圆:和点,若圆上存在两点,使得,则实数的取值范围是( )A B C D12.定义在上的函数,已知是它的导函数,且恒有成立,则有( )A B C D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若,则 14.已知样本数据,的方差是,如果有,那么数据,的均方差为 15.设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数,则 16.函数,若函数,且函数的零点均在内,则的最小值为 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知向量,函数.(1)求的最小正周期;(2)当时,的最小值为,求的值.18.如图所示,矩形中,平面,为上的点,且平面.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成角的余弦值.19.某地一商场记录了月份某天当中某商品的销售量(单位:)与该地当日最高气温(单位:)的相关数据,如下表:(1)试求与的回归方程;(2)判断与之间是正相关还是负相关;若该地月某日的最高气温是,试用所求回归方程预测这天该商品的销售量;(3)假定该地月份的日最高气温,其中近似取样本平均数,近似取样本方差,试求.附:参考公式和有关数据,若,则,且.20.已知圆:,过且与圆相切的动圆圆心为.(1)求点的轨迹的方程;(2)设过点的直线交曲线于,两点,过点的直线交曲线于,两点,且,垂足为(,为不同的四个点).设,证明:;求四边形的面积的最小值.21.已知函数,其中为自然对数的底数.(1)证明:当时,;(2)证明:对任意,有.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是(是参数),圆的极坐标方程为.(1)求圆心的直角坐标;(2)由直线上的点向圆引切线,并切线长的最小值.23.选修4-5:不等式选讲设函数,其中.(1)当时,求不等式的解集;(2)若时,恒有,求的取值范围.兰州市2018年高三诊断考试数学(理科)试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12:CC二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.(1)由题意知:,所以的最小正周期为.(2)由(1)知:,当时,.所以当时,的最小值为.又的最小值为,即.18.(1)因为面,所以,又,所以.因为面,所以.又,所以面,即平面.(2)方法1:因为面,面,所以,又,所以为中点,在中,所以,为二面角的平面角,.平面与平面所成角的余弦值为.方法2:以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为,设平面的法向量,平面的法向量为,易知,令,则,故,令,得,于是,.此即平面与平面所成角的余弦值.19.(1)由题意,.所以所求回归直线方程为.(2)由知,与负相关.将代入回归方程可得,即可预测当日销售量为.(3)由(1)知,所以.20.解:(1)设动圆半径为,由于在圆内,圆与圆内切,则, ,由椭圆定义可知,点的轨迹是椭圆,的方程为.(2)证明:由已知条件可知,垂足在以为直径的圆周上,则有,又因,为不同的四个点,.解:若或的斜率不存在,四边形的面积为.若两条直线的斜率存在,设的斜率为,则的方程为,解方程组,得,则,同理得,当且仅当,即时等号成立.综上所述,当时,四边形的面积取得最小值为.21.解:(1)令,则,为上的减函数,而,所以,成立;令,则,为上的增函数,而,所以,成立.(2),即,由(1),所以,所以,只需证,即,由(1),所以只需证,只需证,即,上式已知成立,故原式成立,得证.22.解:(1),圆的直角坐标方程为,即,圆心直角坐标为.(2)方法1:直线上的点向圆引切线长是,直线上的点向圆引的切线长的最小值是.方法2:直线的普通方程为,圆心到直线距离是,直线上的点向圆引的切线长的最小值是.23.解:(1)当时,所以,所以或,解集为.(2),因为,时,恒成立,又时,当时,只需即可,所以.
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