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- 1 - 山西大学附中 20182019 学年高二第一学期 12 月(总第四次)模块诊断 数 学 试 题(理) 数 学 试 题(理) 考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:代婷 审核人:高二备课组 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的 ) 分在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的 ) 1. 直线350xy的倾斜角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 【答案】C 【难度】易 【考点】直线的斜率与倾斜角 2. 方程 22 2460xyxy表示的图形是( ) A.以(1, 2) 为圆心,11为半径的圆 B.以( 1, 2) 为圆心,11为半径的圆 C.以( 1, 2) 为圆心,11为半径的圆 D.以(1, 2)为圆心,11为半径的圆 【答案】C 【难度】易 【考点】圆的方程 3. 直线 34yx 关于点 (2,1)P 对称的直线方程是( ) A. 310yx B. 318yx C. 34yx D. 43yx 【答案】A 【难度】易 【考点】直线关于点对称 4. 已知直线 1: 70lxmy 和直线 2: ( 2)320lmxym 互相平行,则实数m( ) A.3 B.1 C.1 或 3 D.1 或3 【答案】C 【难度】易 【考点】直线平行判定 5. 若直线l过点( 1, 2) 且与直线2 340xy 垂直,则l的方程为( ) A.3 210xy B.2 310xy C.3 210xy D.2 310xy 【答案】A 【难度】易 【考点】直线方程 6. 若变量x,y满足约束条件 0 0 3 +4 0 xy xy x y ,则3 2xy 的最大值是( ) A. 0 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】C 【难度】易 【考点】线性规划 【解析】解:由题意作出其平面区域, 令 32zxy ,化为 3 22 z yx , 2 z 相当于直线 3 22 z yx 的纵截距, 由图可知, 340 yx xy ,解得,1x , 1y , 则3 2xy 的最大值是325 故选:C 7. 已知平面坐标系内三点 (3,1)P , (6, 2)M ,(3 ,3)N ,直线l过点P若直线l与线段 MN 相交, 则直线l的倾角的取值范围为( ) A. 5 , 46 B. 3 , 44 C. 2 , 33 D. , 63 【答案】A 【难度】中 【考点】直线的斜率与倾斜角 【解析】解: (3,1)P ,(3 ,3)N , 直线 NP 的斜率 1 313 333 k ,倾角为 4 同理可得直线 MP 的斜率 2 21 1 63 k ,倾角为 5 6 设直线 l 与线段 AB 交于 Q 点, 当直线的倾斜角为锐角时,随着 Q 从 M 向 N 移动的过程中,l 的倾斜角变大, 直到 PQ 平行 y 轴时 l 的斜率不存在,此时 l 的倾角 42 ; 当直线的倾斜角为钝角时,随着 l 的倾斜角变大,l 的斜率从负无穷增大到 直线 NP 的斜率,此时 l 的倾角 5 26 综上所述,可得直线 l 的倾角取值范围为: 5 , 46 故选:A 8. 直线l过 (1, 2)P ,且 (2,3)A , (4,5)B 到l的距离相等,则直线l的方程是( ) A4 60xy B 460xy C3 270xy 或4 60xy D2 370xy 或 460xy 【答案】C 【难度】中 【考点】直线的一般式方程与直线的性质;两点间的距离公式 【解析】解 设所求直线为 l,由条件可知直线 l 平行于直线 AB 或过线段 AB 的中点, AB 的斜率为 35 4 24 ,当直线 lAB 时,l 的方程是 24(1)yx ,即4 60xy 当直线 l 经过线段 AB 的中点(3, 1) 时,l 的斜率为 213 132 , l 的方程是 3 2(1) 2 yx ,即3270xy 故所求直线的方程为3 270xy 或4 60xy 故选:C 9. 设点 1 F, 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) 3 xy Cb bb 的左、右焦点,弦 AB 过点 1 F,若 2 ABF 的周长为 8, 则椭圆 C 的离心率为( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 15 4 D. 3 2 【答案】D 【难度】中 【考点】椭圆定义 【解析】解:由椭圆定义有48a , 2a ,所以 22 34ba, 从而 2 1b , 222 3cab,所以 3 2 c e a , 故选:D 10. 已知 F 是椭圆 2 2 :1 2 x Cy的左焦点,P 为椭圆 C 上任意一点,点 (4,3)Q ,则PQ PF 的 最大值为( ) A. 5 2 B. 3 2 C. 34 D. 4 2 【答案】A 【难度】中 【考点】椭圆的性质 【解析】解:点 F 为椭圆 2 2 :1 2 x Cy的左焦点, ( 1,0)F , 点 P 为椭圆 C 上任意一点,点 Q 的坐标为(4,3), 设椭圆 C 的右焦点为 (1,0)F , 2 2PQPFPQPF 2 2PQPF, 3 2PQPFQF , 5 2PQPF, 即最大值为5 2, 此时 Q, F , P 共线 故选:A 11. 如图, 1 F, 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,若 2 POF 是面积 为3为等边三角形,则 2 b的值为( ) A. 6 B. 2 3 C. 12 D. 1 【答案】B 【难度】中 【考点】椭圆基本量 12. 直线20kxyk与曲线 2 1yx交于 M、N 两点,O 为坐标原点,当 OMN面积取最大值时, 实数 k 的值为( ) A. 3 3 B. 3 C. 1 D. 1 【答案】A 【难度】难 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】解:由 2 1yx,知 0y ,将等式两边平方得 22 1yx ,即 22 1xy, 所以,曲线 2 1yx表示的图形是圆 22 1xy的上半部分, 设MON,则OMN的面积为 2 11 1sinsin 22 S, 显然,当90时,OMN的面积取到最大值,此时,OMN是等腰直角三角形, 设原点到直线20kxyk的距离为 d,则 2 1 sin45 2 d , 另一方面,由点到直线的距离公式可得 2 2 2 2 1 k d k ,解得 3 3 k , 结合图象可知,0k,因此, 3 3 k , 故选:A 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每题小题,每题 5分,共分,共 20分 )分 ) 13. 椭圆 22 1 259 xy 的焦距为_ 【答案】8 【难度】易 【考点】椭圆基本量 14. 与圆 2 215 :1 24 Cxy 关于直线 :10l xy 对称的圆的标准方程为_ 【答案】 22 35 () 24 xy 【难度】易 【考点】圆的方程 15. 已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 的取值范围为 3 0, 2 ,则长半轴长的取值范围为_ 【答案】 1, 2 【难度】易 【考点】椭圆的基本量 6 16. 已知实数 x,y 满足 24 0 1 0 1 xy xy x ,若不等式 4axy 恒成立,则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 3 2 a 【难度】中 【考点】线性规划 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知直线 :20l axya ,若直线 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程 【答案】 10xy 或2 0xy 【难度】中 【考点】直线方程 【解析】解:由题可知0a 显然不符合要求, 当0a 时, 由0x 解得: 2ya , 由 0y 解得: 2 1x a , 由 2 21a a 解得:1a 或2a 此时直线方程为: 10xy 或2 0xy 18. 已知ABC 的三个顶点坐标为 ( 3,3)A , ( 4, 2)B , ( 2, 2)C (1)求ABC 的外接圆 E 的方程; (2)若一光线从( 2, 3) 射出,经 y 轴反射后与圆 E 相切,求反射光线所在直线的斜率 【答案】 (1) 22 (3)(2)1xy; (2) 3 4 k 或 4 3 k 【难度】易 【考点】圆的方程与圆的切线 【解析】解: (1) 1 AB k,1 AC k ,1 ABAC kk ABAC,外接圆圆心 E 为 BC 中点( 3, 2) 半径 1 1 2 rBC 圆 E 的方程为 22 (3)(2)1xy (2)( 2, 3) 关于 y 轴的对称点为(2, 3) 设反射光线为3(2)yk x,即230kxyk 反射光线与圆 E 相切 2 3223 1 1 kk k ,解得: 3 4 k 或 4 3 k 19. 如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PBBC,PDCD,且 PA=2,E 为 PD 中点 (1)求证:PA平面 ABCD; (2)求平面 ABE 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值 【答案】 (1)见解析; (2) 10 5 【难度】中 【考点】空间直线与平面位置垂直;二面角计算 【解析】解: (1)PBBC,BCAB, BC平面 ABP BCPA,同理 DCPA PA平面 ABCD (2)由(1)知 PAAB,PAAD,ABAD 以 A为原点 AB,AD,AP 为 xyz 轴建立空间直角坐标系 则 (0,0,0)A , (2,0,0)B , (2, 2,0)C , (0, 2,0)D , (0,0, 2)P , (0,1,1)E ( 2,1,1)BE ,(2,0,0)AB ,(0, 2,0)BC 设平面 ABE 与平面 BEC 的法向量分别为 1 n和 2 n 由 1 2 0 0 nAB nBE ,解得 1 2 (0,1,1) (1, 0, 2) n n 12 12 12 210 cos, 552 nn n n n n 二面角的余弦值为 10 5 20. 已知圆 22 1: 4Cxy,圆 22 2: ( 3)1Cxy,直线 l 过点(1, 2)M (1)若直线 l 被圆
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