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福建省八县(市)一中福建省八县(市)一中 2018-20192018-2019 学年高二上学期期末考试学年高二上学期期末考试 数学(理)试题数学(理)试题 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中,只有一项在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. .) 1.命题“存在, 0”的否定是( ) A. 不存在,0 B. 存在,0 C. 对任意的,0 D. 对任意的,0 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得,根据全称命题与存在性命题的互为否定关系,可知命题“存在,”的否定是“对 任意的,”,故选 C. 考点:全称命题与存在性命题的关系. 2.在空间直角坐标系中点关于平面对称点 的坐标是( ) A. (1,5,6) B. (1,5,6) C. (1,5,6) D. (1,5,6) 【答案】B 【解析】 【分析】 在空间直角坐标系中,点 P(a,b,c)关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是(a,b,c) 【详解】在空间直角坐标系中, 点 P(1,5,6)关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是(1,5,6) 故选:B 【点睛】题考查空间中点的坐标的求法,考查空间直角坐标系的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 3.已知,则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先由判断是否能推出,再由判断是否能推出,即可得出结果. 【详解】已知 充分性: 若因为,所以,所以,所以; 必要性: 若,则当时,所以必要性不成立; 因此“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件,属于基础题型. 4.中心在原点,焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点,则它的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可知,此双曲线的渐近线方程为,则渐近线过点,即,所以 .故选 A. 5.若满足约束条件,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由不等式组作出平面区域,将求的范围即转化为直线在 轴截距的取值范围问题,结合图像即可求 解. 【详解】根据不等式组,作出平面区域如图: 化目标函数为,则的范围即转化为直线在 轴截距的取值范围问题,由图像可得当 直线过点时,截距最小为 1,当直线过点,截距最大为 6,所以的取值范围 为. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题,属于基础题型. 6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,若,则| ( ) A. ,z=1 B. ,z=1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中。用,表示出,即可求出结果. 【详解】因为在在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, , 所以,因此. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则,属于基础题型. 7.过的直线 与抛物线相交于 C,D 两点,若 A 为 CD 中点,则直线 的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先设 C,D 两点坐标,由抛物线方程可表示出直线斜率,再由 A 点坐标可求出直线斜率,进而可求出直线方程. 【详解】设, 由题意可得,作差得,整理得:; 因为为 CD 中点,所以直线 的斜率, 所以直线 的方程是, 整理得. 【点睛】本题主要考查曲线中点弦的问题,属于基础题型. 8.在长方体中,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系,求出直线与的方向向量,由向量的夹角公式即可求出结果. 【详解】以 D 点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,由题意可得,,,所以 , 设异面直线与所成的角为 ,则 与向量和的夹角相等或互补, 所以. 【点睛】本题主要考查空间向量的方法求异面直线所成的角,属于基础题型. 9.若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先设椭圆方程,再由椭圆和正方形的对称性得出顶点坐标,代入椭圆方程即可求解. 【详解】设椭圆方程为,由正方形和椭圆的对称性可得:正方形的四个顶点坐标分别为 ,将 A 点坐标代入椭圆方程得:, 所以故离心率为. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质,属于常考题型. 10.设为平面,为直线,则下面一定能得到的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由线面垂直的判定定理即可得出结论. 【详解】A.因为,所以,而, 并不垂直 内所有直线,所以 和 可能不垂直,故 A 错; B. 只垂直 内一条直线,所以不能推出,故 B 错; C.因为,所以,又所以,故 C 正确; D. 由,不能推出,所以由不能推出,故 D 错. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,属于基础题型. 11.若点O和点F分别为椭圆的中心和焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆的参数方程先设点 P 坐标,再由向量数量积的坐标运算表示出,即可求出结果. 【详解】因为点P为椭圆上的任意一点,所以设点 P 坐标为,又点F为椭圆的焦点,不妨 令,所以,所以 ,当且仅当时,取最小值. 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,属于常考题型. 12.用x表示不超过 x 的最大整数,如,,数列满足, (), 若,则的所有可能取值构成的集合为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由裂项相消法求出,根据题意判断的范围,再根据前几项的值,即可求出结果. 【详解】对两边取到数,整理得; 所以 由得,即数列为增函数, 因为,所以; 因此,其整数部分为 0;,其整数部分为 1; 故的所有可能取值构成的集合为. 【点睛】本题主要考查数列的应用,难度较大. 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分分. .) 13.已知,则=_ 。 【答案】-2 【解析】 【分析】 由空间向量的数量积运算公式即可求出结果. 【详解】因为,,所以. 【点睛】本题主要考查向量的数量积,属于基础题型. 14.命题,若 p 是真命题,则实数 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 用分类讨论的思想,讨论和两种情况,结合对应方程的根即可求出结果. 【详解】当时,原不等式可化为,显然恒成立,故满足题意; 当时,由恒成立可得:,解得; 综上,实数 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题,属于常考题型. 15.已知直线与抛物线相交于两点,F为抛物线C的焦点若,则 k_ 【答案】 【解析】 【分析】 联立直线与抛物线方程,再由根与系数关系结合抛物线定义和,列出方程组,即可求出结果. 【详解】由题意,设,由抛物线定义可得,, 因为,所以,即; 联立,整理得, 所以,故, 又,由解得满足题意. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的应用,属于中档题型. 16.已知,是双曲线 C:C: 的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 k 的直线上, 为等腰三角形,若 C 的离心率 则 k 的取值范围是_。 【答案】 【解析】 【分析】 先由推出点 P 坐标,再由点 P 在过 A 且斜率为 k 的直线上,根据斜率公式可表示出 k,结合离心率 即可求出 k 的范围. 【详解】由题意可得,, ; 因为为等腰三角形,可得或, 所以, 又,所以,故 所以,因此. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质,属于中档试题. 三、解答题三、解答题 17.已知命题 :方程表示焦点在 轴上的椭圆;命题 :方程表示离心率的双曲 线。 (1)若命题 为真命题,求实数 的取值范围 (2)若为真命题且为假命题,求实数 的取值范围。 【答案】 (1) 或 ; (2)或或. 【解析】 【分析】 (1)由方程表示焦点在 轴上的椭圆,结合椭圆的标准方程即可求出结果; (2)先设命题 为真命题,求出对应 m 的范围,再由若为真命题且为假命题推出 p 真 q 假或 p 假 q 真, 结合(1)中结果,即可求解. 【详解】 (I)方程 可改写为 若命题 为真命题,则, 所以或. (II)若命题 q 为真命题,则 ,所以命题 q 为真命题时, 为真命题且为假命题 p 真 q 假或 p 假 q 真 或, 或或。 【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假来求参数的范围,属于基础题型. 18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (1)求A; (2)若 A 为锐角,的面积为,求的周长 【答案】 (1) 或; (2) . 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值,即可求出结果; (2)由余弦定理和三角形的面积公式联立,即可求出结果. 【详解】 (I) 由正弦定理得, ,即又, 或。 (II),由余弦定理得, 即 , 而的面积为 。 的周长为 5+。 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,属于基础题型. 19.已知数列是首项为 b1=1,公差 d=3 的等差数列,(nN*) (1)求证:是等比数列; (2)若数列满足,求数列的前 n 项和Sn。 【答案】 (1)见解析; (2). 【解析】 【分析】 (1)直接根据等比数列的定义证明即可; (2)先由(1)得到,再由错位相减法即可求出数列的前 n 项和. 【详解】(1) (常数), 是等比数列。 (2) 8 分 (1)-(2)得 。 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和数列的求和,属于基础题型. 20.已知顶点为原点,焦点 F 在 轴上的抛物线 过点 A(m,2) ,且. (1)求抛物线 的标准方程及点 A 的坐标; (2)过点 F 的直线 交抛物线 于 M、N 两点,试求的最小值。 【答案】 (1); (2). 【解析】 【分析】 (1)由题意先设抛物线方程为,再由即可得到关于 p 的方程,解之即可得到 p,从而可得所求 结果; (2)由题意先设直线 的方程为,联立直线与抛物线方程,由根与系数关系以及基本不等式即可求出结果. 【详解】 (1)设抛物线 的方程为 抛物线 的方程为 (2)由于直线 的斜率存在,所以可设直线 的方程为 联立消去 y 得, ,设, 那么 , =, , 当且仅当时 取得最小值。 【点睛】本题主要考查抛物线的方程和抛物线的简单几何性质,属于中档试题. 21.如图,三棱柱中,底面与三角形均为等边三角形, , (1)证明:平面; (2)求与平面所成角的正弦值 【答案】 (1)见解析; (2). 【解析】 【分析】 (1)根据面面垂直的判定定理结合题中条件即可得出结论; (2)由(1)可得两两垂直,然后以 O 为原点,方向作为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐 标系,由空间向量的方法来求线面角的正弦值即可. 【详解】 ()取中点 O,由于底面与三角形均为等边三角形, , 在三角形中, , 又,而 平面 ()由()知两两垂直,取 O 为原点,方向作为 x,y,z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 O-xyz. 则, 设平面的法向量, 由得令,得 平面的一个法向量为 , , 与平面所成角的正弦值为 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理和直线与平面所成的角,属于常 考题型. 22.设圆的圆心为A,直线 过点B(1,0)且与x轴不重合,设 P 为圆 A 上一点,
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