课时跟踪训练(二十五)空间的角的计算1已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为_2棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_3PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，则二面角APBC的余弦值为_4(大纲全国卷改编)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_5已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是_6.如图，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，点F是AE的中点求AB与平面BDF所成角的正弦值7(江西高考)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连结CE并延长交AD于F.(1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值8.如图，在几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EAAB，M是EC的中点，EADAAB2CB.(1)求证：DMEB；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；(3)求二面角MBDA的余弦值答 案 1解析：(2，2，1)，(2，3，3)，cos，.直线AB，CD所成角的余弦值为.答案：2解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.，cos，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.答案：3解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1，1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则令x1，则m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则n(0，1，1)，cosm，n.答案：4.解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案：5.解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)所以(1,0,1)，.设平面AEFD1的法向量为n(x，y，z)，则取y1，则n(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u.答案：6解：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)(0,2,1)，(1，2,0)，(2,0,0)设平面BDF的一个法向量为n(2，a，b)，n，n，即解得a1，b2.n(2,1，2)又设AB与平面BDF所成的角为，则sin .即AB与平面BDF所成角的正弦值为.7解：(1)证明：在ABD中，因为E是BD中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB，因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD.因为PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.设平面BCP的一个法向量n1(1，y1，z1)，则解得即n1.设平面DCP的一个法向量n2(1，y2，z2)，则解得即n2(1，2)从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos .8解：以直线AE、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设CBa，则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M(a，a，)，(1)证明：(a，a，)，(2a,2a,0)，a(2a)a2a00，即DMEB.(2)(0,2a,0)，(2a，2a，a)，设异面直线AB与CE所成的角为，则cos .即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.(3)DA平面EAB，AD平面DAB，平面DAB平面EAB，EA平面EAB，平面EAB平面DABAB，EAAB.EA平面DAB.(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量设平面MBD的一个法向量为n(x，y，z)，(a，a，)，(0，2a,2a)，则即令za，则n，设二面角MBDA的平面角为，则cos .即二面角MBDA的余弦值为.