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7.1 数列的概念与简单表示法,大一轮复习讲义,第七章 数列与数学归纳法,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.数列的有关概念,ZHISHISHULI,每一个数,一定顺序,a1a2an,anf(n),2.数列的表示方法,(n,an),公式,3.an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn,,S1,SnSn1,4.数列的分类,无限,有限,1.数列的项与项数是一个概念吗?,【概念方法微思考】,提示 不是,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.,2.数列的通项公式an3n5与函数y3x5有何区别与联系?,提示 数列的通项公式an3n5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y3x5的定义域是R,an3n5的图象是离散的点,且排列在y3x5的图象上.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达.( ) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( ) (4)1,1,1,1,不能构成一个数列.( ) (5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( ) (6)如果数列an的前n项和为Sn,则对nN*,都有anSnSn1.( ),1,2,3,4,5,6,基础自测,JICHUZICE,题组二 教材改编 2.P33A组T4在数列an中,已知a11,an14an1,则a3_.,1,2,3,4,5,6,21,解析 由题意知,a24a115,a34a2121.,3.P33A组T5根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式an_.,5n4,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 4.已知ann2n,且对于任意的nN*,数列an是递增数列,则实数的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,解析 因为an是递增数列,所以对任意的nN*,都有an1an, 即(n1)2(n1)n2n, 整理,得2n10,即(2n1).(*) 因为n1,所以(2n1)3,要使不等式(*)恒成立,只需3.,(3,),1,2,3,4,5,6,5.数列an中,ann211n(nN*),则此数列最大项的值是_.,30,nN*,当n5或n6时,an取最大值30.,解析 当n1时,a1S12,当n2时, anSnSn1n21(n1)212n1,,6.已知数列an的前n项和Snn21,则an_.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 由数列的前几项求数列的通项公式,例1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:,师生共研,解 这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为13,35,57,79,911,每一项都是两个相邻奇数的乘积,分子依次为2,4,6,相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an,(2)1,7,13,19,;,解 偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5).,解 数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.,(4)5,55,555,5 555,.,易知数列9,99,999,的通项为10n1,,求数列通项时,要抓住以下几个特征: (1)分式中分子、分母的特征. (2)相邻项的变化特征. (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征. (4)各项符号特征等. (5)若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式.,解析 数列各项的分母为等比数列2n,分子为2n1,可用(1)n1来控制各项的符号,,题型二 由an与Sn的关系求通项公式,例2 (1)(2018浙江绍兴一中期中)已知数列an的前n项和为Snn2n1,bn (1)n(an2)(nN*),则数列an的通项公式为_,数列bn的前50项和为_.,师生共研,49,解析 当n1时,a1S13; 当n2时,anSnSn1n2n1(n1)2(n1)12n,,当n1时,b11; 当n2时,bn(1)n(an2)(1)n2(n1), 则数列bn的前50项和为121222324912(12349)122549.,(2)(2018全国)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1,则S6_.,63,解析 Sn2an1,当n2时,Sn12an11, anSnSn12an2an1(n2), 即an2an1(n2). 当n1时,a1S12a11,得a11. 数列an是首项a11,公比q2的等比数列,,S612663.,(3)已知数列an满足a12a23a3nan2n,则an_.,解析 当n1时,由已知,可得a1212, a12a23a3nan2n, 故a12a23a3(n1)an12n1(n2), 由得nan2n2n12n1,,跟踪训练2 (1)已知数列an的前n项和Sn3n1,则an_.,解析 当n1时,a1S1314; 当n2时,anSnSn1(3n1)(3n11)23n1. 当n1时,23112a1,,(2)n1,题型三 由数列的递推关系求通项公式,例3 设数列an中,a12,an1ann1,则an_.,师生共研,解析 由条件知an1ann1, 则当n2时an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2,2.若将“an1ann1”改为“an12an3”,如何求解?,解 设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant), 即an12ant,解得t3. 故an132(an3).,所以bn是以5为首项,2为公比的等比数列. 所以bn52n1,故an52n13.,4.若将本例条件换为“a11,an1an2n”,如何求解?,解 an1an2n,an2an12n2, 故an2an2. 即数列an的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.,当n为奇数时,an1an2n,an1n(n1为偶数),故ann.,已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现anan1m时,构造等差数列. (2)当出现anxan1y时,构造等比数列. (3)当出现anan1f(n)时,用累加法求解.,跟踪训练3 (1)已知数列an满足a11,a24,an22an3an1(nN*),则数列an的通项公式an_.,解析 由an22an3an10, 得an2an12(an1an), 数列an1an是以a2a13为首项,2为公比的等比数列, an1an32n1, 当n2时,anan132n2,a3a232,a2a13, 将以上各式累加,得 ana132n23233(2n11), an32n12(当n1时,也满足).,32n12,A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列,题型四 数列的性质,命题点1 数列的单调性,多维探究,命题点2 数列的周期性,0,即数列an的取值具有周期性,周期为3, 且a1a2a30,则S2 020S36731a10.,例6 已知等差数列an的前n项和为Sn,且Sm12,Sm0,Sm13(m2),则nSn的最小值为 A.3 B.5 C.6 D.9,命题点3 数列的最值,解析 由Sm12,Sm0,Sm13(m2)可知am2,am13, 设等差数列an的公差为d,则d1, Sm0,a1am2,,nN*,且f(3)9,f(4)8, f(n)min9.,应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的常用方法有两个:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断.,以此类推知数列an是周期为3的周期数列, 所以a2 020a36731a12,故选C.,(2)若数列an的前n项和Snn210n(nN*),则数列nan中数值最小的项是 A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项,解析 Snn210n, 当n2时,anSnSn12n11; 当n1时,a1S19也适合上式. an2n11(nN*). 记f(n)nann(2n11)2n211n,,当n3时,f(n)取最小值. 数列nan中数值最小的项是第3项.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.记Sn为数列an的前n项和.“任意正整数n,均有an0”是“Sn是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 “an0”“数列Sn是递增数列”, “an0”是“数列Sn是递增数列”的充分条件. 如数列an为1,1,3,5,7,9,显然数列Sn是递增数列,但是an不一定大于零,还有可能小于零, “数列Sn是递增数列”不能推出“an0”, “an0”是“数列Sn是递增数列”的不必要条件. “an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件.,3.若Sn为数列an的前n项和,且Sn2an2,则S8等于 A.255 B.256 C.510 D.511,解析 当n1时,a1S12a12,据此可得a12, 当n2时,Sn2an2,Sn12an12, 两式作差可得an2an2an1,则an2an1, 据此可得数列an是首项为2,公比为2的等比数列,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 数列an的前n项和Snn22n,Sn1n21,两式作差得到an2n1(n2), 又当n1时,a1S112213,符合上式, 所以an2n1,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
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