数学模型(第三版)学习笔记写在开始 -小康社会欢迎您 小a v j 今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是. 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：(一)“实际模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；0 H6 p9 U/ Q, Am- C% m(二)模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；: i9 F- S7 G0 i9 A$ T! m- s(三)用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。+ n8 u0 i0 v r; w% y; w( b7 e, f5 Z 从上周六继续自学数学模型开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流毕竟自己领会很有限。 也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考 Tony Sun July 2012, TJU7 K% C c1 J! r5 p, V9 Z/ U- mO/ r l% H& y% B+ p8 m) y（目前已更新：全12章）第1章 建立数学模型* W/ Z B0 K. m% t关键词：数学模型 意义 特点 第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事物、现象往往增添了说服力。6 8 n2 O$ G& o4 F- _9 U b, q0 F n4 O) - w* M第2章 初等模型关键词：初等数学 简化技巧 思想 这一章顾名思义，是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂，但是其中的巧妙思想确实十分重要的。! t a$ m: w T& L N5 e# d X 如何把问题做恰当的简化，到简单的数学工具能够表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同时分析也很精彩。 2.1节公平席位分配，通过定义不公平程度等衡量标准，确立目标，提出Q值法。有意思的是，在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时，根据所提出的4个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。这给我们什么启示呢？有些问题和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分配，但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时，我们还有分配的意义吗？答案不一；在这个例子中，固然是有意义的，我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。 录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型，均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要它们是整个模型的关键，阐述现象。 2.7 实物交换是后面经济学模型的雏形，无差别曲线的图形方法，确定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的这里给我们一个思想，得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是很好的方法，图中可以给我们很多信息（交点，截距，极限值），而这些信息都一一对应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义，但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。 2.10 量纲分析与无量纲化是另一种重要的求解方法，大致来说思想就是：仅知道变量之间的制约关系（正/负相关），系数、阶数均未知，即只能得出表达式的“形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。关键：恰当地选择特征尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。/ w, % H: e; U! 9 c9 a. & x7 , d4 _# j9 k第2章小结：* Z4 * r5 U! G2 C2 P9 N 本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。* J% l1 I: P+ l; D/ c/ f- F6 v# O* R7 j/ v/ Y+ O1 r9 i9 h* PC+ z7 ! n; O% G第3章 简单的优化模型8 zc1 w$ ?8 8 / 关键词：简单优化 微分法 建模思想 本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题，可以看成一类问题内容上也是由简单到复杂。在第3章中，主要是几个简单的优化模型，可以归结到函数极值问题来求解，直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句建模，求解之后结果分析、结果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。3.1 存贮模型 分不允许、允许缺货两种讨论，中间推出一个最小费用的结果经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图，观察规律，对结果解释。3.2 生猪出售时机/ E( t6 x: h x! f+ M3 Q 关键点在于敏感性分析和强健性分析这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。3.3 森林救火 a8 wx4 : 亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设，以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说，就是一个好的对实际问题的简化。3.4 最优价格7 % X; g7 R* m: S 主要是引出边际收入、编辑支出，以及经济学一条著名定律最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。3.5 血管分支7 d3 q% |% J | 是很有趣的一节，用数学模型研究生理问题，我们还是只关注建模、数学的层面，而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多，用合理有力的假设代之。: m; T W9 O) G1 z3.6 消费者的选择 一个消费者买两种产品时，钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡，而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。3.7 冰山运输8 Q) E, 6 k& o7 d: E9 j 也是很有趣的问题，考虑各种因素，基于一些假设，这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式，二是假设冰山为球形，简化了融化规律等的计算。d7 f( w$ r4 ( p5 U0 X9 G第4章 数学规划模型! E1 K, h3 U7 W. d F关键词：数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数 约束条件、可行域、目标函数，构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质，和它与传统优化数学问题的区别：常理优化模型属于函数极值问题的范畴，但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大，且最优解往往在边界上取得的问题，因此不能用传统的“微分法”求解因此要引入“数学规划”方法。 这一章内容不少，但都是一类问题，主要点有几个：1. lingo、lindo求解的使用运行结果中还有一些平时未留意的信息，可以作为结果分析来用，前两节叙述较多；2. 一些细节之处：把一句话用数学公式表达，它往往作为约束条件，如p102的式（19）； w( C# x 0 i, H3. 多目标规划的处理，p109的“选课策略”基本思想是通过加权组合形成一个新的目标，从而化为单目标规划；4. 同前面章节一样地，对一个问题解出结果后，问题虽然解决了，但分析并没有结束我们要学习这种further discussion的精神，发现这个结果“恰与相同”之类的，不妨多问自己一句：“这是偶然的吗？”然后继续分析，得出一般的结论，这样往往能看到更多的风景，得出的结论更有含金量/启发性，而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。5. 减少变量个数，简化模型、式子（简化起见，同时lingo对变量个数有限制），p115销售的例子。6. 求最优解时，为了减少搜索范围，加快速度，可以先去一个特殊情况求出一个可行解，然后让最优解至少优于它。0 oH M* 4 c4 ?* ?1 N, w N% x; M; r7 F6 |2 H* VQ4 F% C8 K3 e4 X ?第5章 微分方程模型& % _ ) _3 $ 关键词：动态模型 合理假设 分析预测 控制2 y5 w9 K9 Y o+ e 这一章是非常经典的一章，对微分方程模型作了很好的诠释、介绍，每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态，当我们要 1）分析变化规律；2）预测；3）研究如何控制它的时候，就要建立相应的微分方程模型。7 k V8 z4 J( n7 y5 M 自然地，这样的模型功能非常强大，也具有一般性，也自然地需要在简化假设上动脑筋如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程，有时就表示着一件事，这件事有可能还持续几十年多么有趣而强大。$ - m& m/ % b+ p5 n& t% z5.1 传染病模型$ I& Q) s) y7 - p b ?9 L- A5 L$ g 本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：SI（只分为易感染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者），SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）。可以说从基础模型到一步步递进，是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次