阶段方法技巧训练（一）,专训1 用二次函数解决问 题的四种类型,利用二次函数解决实际问题时，要注意数形 结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从 而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目 的,1,类型,建立平面直角坐标系解决实际问题,1如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐 标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y 轴对称隧道拱部分BCB1 为一段抛物线，最高点C离 路面AA1的距离为8 m，点 B离路面AA1的距离为6 m， 隧道宽AA1为16 m.,题型1,拱桥(隧道)问题,(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式,由已知得OAOA18 m，OC8 m，AB6 m 故C(0，8)，B(8，6) 设抛物线BCB1对应的函数解析式为yax28， 将B点坐标代入，得a(8)286， 解得a 所以y x28(8x8),解：,(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m， 装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安 全通过这个隧道？并说明理由,能若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2 m如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DEAA1于点E. 当x2时， y 228 即D 所以DE m. 因为 7，所以该货车能安全通过这个隧道,解：,2某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成， 为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( ) A50 m B100 m C160 m D200 m,题型2,建筑物问题,C,3. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发 射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的 落点为B. 有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向 上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网 球落入桶内已知AB4米，AC 3米，网球飞行最大高度OM5米， 圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3 米(网球的体积和圆柱形桶的厚度 忽略不计),题型3,物体运动类问题,(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？,以点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图的直角坐标系， 则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D 设抛物线的解析式为yax2c， 由抛物线过点M和点B， 可得a c5. 故抛物线的解析式为 y x25.,解：,当x1时，y ；当x 时，y . 故 ， 两点在抛物线上 当竖直摆放5个圆柱形桶时， 桶高为0.351.5 (米) 且 ， 网球不能落入桶内,(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入 桶内？,设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内 由题意，得 0.3m ， 解得 m . m为整数，m的值为8，9，10，11，12. 当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱 形桶时，网球可以落入桶内,解：,2,类型,建立二次函数模型解决几何最值问题,4.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根 绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地 方距地面高都是2.5米，绳子自然 下垂呈抛物线状，身高1米的小明 距较近的那棵树0.5米时，头部刚 好接触到绳子，则绳子的最低点 距地面的高度为_米,题型1,利用二次函数解决图形高度的最值问题,0.5,5如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E， F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC， CD运动，与BCF相应的EGH在运动过程中 始终保持EGHBCF， B，E，C，G在一条直线 上,题型2,利用二次函数解决图形面积的最值问题,(1)若BEa，求DH的长,(1)连接FH，EGHBCF， BCEG，HGFC，GBCF， CGBE，HGFC， 四边形FCGH是平行四边形， FH CG， DFHDCG90. 由题意可知，CFBEa. 在RtDFH中，DF3aa2a，FHa， DH,解：,(2)当E点在BC边上的什么位置时，DHE的面积 取得最小值？并求该三角形面积的最小值,(2)设BEx，DHE的面积为y. 依题意， 得ySCDES梯形CDHGSEGH 3a(3ax) (3ax)x 3ax， y x2 ax a2，即y 当x a，即E是BC的中点时，y取得最小值， 即DHE的面积取得最小值，最小值是 a2.,解：,3,类型,建立二次函数模型解决动点探究问题,6如图所示，直线y x2与x轴、y轴分别交于点 A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0) (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线 AC的距离DE最大时，求出 点D的坐标，并求出最大距 离,(1)在y x2中， 令x0，得y2；令y0，得x4， A(4，0)，C(0，2) 设抛物线的解析式为yax2bxc(a0) 点A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)在抛物线上，,解：,抛物线的解析式为y x2 x2.,(2)设点D的坐标为(x，y)， 则y x2 x2(1x4) 在RtAOC中，OA4，OC2， 由勾股定理得AC2 如图所示，连接CD，AD. 过点D作DFy轴于点F，过点A作AGFD交FD 的延长线于点G， 则FGAO4，FDx，DG4x， OFAGy，FCy2.,SACDS梯形AGFCSCDFSADG (AGFC)FG FCFD DGAG (yy2)4 (y2)x (4x)y 2yx4. 将y x2 x2代入， 得SACD2yx4x24x(x2)24， 当x2时，y1，此时SACD最大，且最大值为4. D(2，1),SACD ACDE，AC 当ACD的面积最大时，高DE最大， 则DE的最大值为 当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为 (2，1)，最大距离为,4,类型,建立二次函数模型作决策问题,7如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙(墙的最 大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的 长方形鸡舍设鸡舍的一边AB为x m，面积为 S m2.,题型1,几何问题中的决策,(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围),(1)因为ABx m，所以BC(243x) m， 此时Sx(243x)3x224x.,解：,(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？,(2)由已知得3x224x45， 整理可得x28x150. 解得x15，x23. 0243x10，得 x8， x23不符合题意，故AB5 m.,解：,(3)能围成面积比45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请 求出最大面积；如果不能，请说明理由,(3)能 S3x224x3(x28x)3(x4)248. x8， 当x 时，S最大值46 能围成面积比45 m2更大的鸡舍 围法是：BC的长是10 m，AB的长是4 m， 这时鸡舍的面积最大，为46 m2.,解：,8某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并 销售，每年产销x件已知产销两种产品的有关信 息如表：,题型2,实际问题中的决策,其中a为常数，且3a5.,(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、 y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式；,(1)y1(6a)x20，(0x200) y2(2010)x400.05x2 0.05x210x40.(0x80),解：,(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；,(2)对于y1(6a)x20， 3a5，6a0， x200时，y1最大值(1 180200a)万元 对于y20.05(x100)2460， 0x80， x80时，y2最大值440万元,解：,(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种 产品？请说明理由,(3)1 180200a440，解得a3.7； 1 180200a440，解得a3.7； 1 180200a440，解得a3.7. 3a5， 当a3.7时，产销甲、乙两种产品的年利润相同； 当3a3.7时，产销甲产品年利润比较高； 当3.7a5时，产销乙产品年利润比较高,解：,