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第38练“排列、组合”的常考问题题型一排列问题例1即将毕业的6名同学排成一排照相留念,个子较高的明明同学既不能站最左边,也不能站最右边,则不同的站法种数为_破题切入点最左边和最右边是特殊位置,可采用位置分析法;由于明明同学是特殊元素,也可以采用元素分析法,也可以从反面考虑答案480解析方法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步:第1步,从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边,有A种站法;第2步,余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上,有A种站法由分步乘法计数原理,知共有AA480(种)不同的站法方法二(元素分析法)先安排明明的位置,再安排其他5人的位置,分为两步:第1步,将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上,有A种站法;第2步,余下5人站在剩下5个位置上,有A种站法由分步乘法计数原理,知共有AA480(种)不同的站法方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A种站法,明明站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法,因此符合条件的不同站法共有A2A480(种)题型二组合问题例2在一次国际抗震救灾中,从7名中方搜救队队员,4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务,按下列要求,分别计算有多少种组队方法(1)至少有2名外籍搜救队队员;(2)至多有3名外籍搜救队队员破题切入点第(1)问中“至少有2名”应包括2名、3名、4名,可以用直接法或间接法求解第(2)问中,“至多有3名”应包括3名、2名、1名和没有,四种情况,应分类讨论可用间接法解(1)方法一(直接法)由题意,知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类:只有2名外籍队员,共有CC种组队方法;只有3名外籍队员,共有CC种组队方法;只有4名外籍队员,共有CC种组队方法根据分类加法计数原理,知至少有2名外籍搜救队队员共有CCCCCC301(种)不同的组队方法方法二(间接法)由题意,知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”,可分为2类:只有1名外籍搜救队队员,共有CC种组队方法;没有外籍搜救队队员,共有CC种组队方法所以至少有2名外籍搜救队队员共有CCCCC301(种)不同的组队方法(2)方法一(直接法)由题意,知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类:只有3名外籍搜救队队员,共有CC种方法;只有2名外籍搜救队队员,共有CC种方法;只有1名外籍搜救队队员,共有CC种方法;没有外籍搜救队队员,共有C种方法由分类加法计数原理,知至多有3名外籍搜救队队员共有CCCCCCC455(种)不同的组队方法方法二(间接法)由题意,知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”因为至少有4名外籍搜救队队员,共有CC种组队方法,所以至少3名外籍队员共有CCC455(种)不同组队方法题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?破题切入点把不放球的盒子先拿走,再放球到余下的盒子中并且不空解(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有CCCA144(种)(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法(3)确定2个空盒有C种方法4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有CCA种方法;第二类有序均匀分组有A种方法故共有C(CCAA)84(种)总结提高(1)求解排列、组合问题,应按元素的性质或题意要求进行分类,对事件发生的过程进行分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,才能保证不“重”不“漏”(2)关于“至少”“至多”等计数问题,一般需要进行分类,若分类比较复杂,可用间接法,找出其对立事件来求解1设集合A1,2,3,4,5,6,B4,5,6,7,8,则满足SA且SB的集合S的个数是()A57 B56C49 D8答案B解析满足SA时,S可以是1,2,3,4,5,6的一个子集,有2664个,满足SB时,S不可以是集合1,2,3和它的子集,有238个,所以同时满足SA且SB的集合S的个数是64856个2(2013四川)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10C18 D20答案C解析由于lg alg blg(a0,b0),从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种,又与相同,与相同,lg alg b的不同值的个数有A220218,选C.3一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A33! B3(3!)3C(3!)4 D9!答案C解析把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家,所以有(3!)4种4若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种答案D解析满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加,其和为偶数,在5个奇数1,3,5,7,9中,任意取4个,有C5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数,在5个奇数中任取2个,再在4个偶数2,4,6,8中任取2个,有CC60(种);三是四个偶数相加,其和为偶数,4个偶数的取法有1种,所以满足条件的取法共有560166(种)5将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A12种 B10种 C9种 D8种答案A解析分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C2(种)选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有C6(种)选派方法由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2612(种)6现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是()A420 B560C840 D20 160答案C解析从下层8件中取2件,有C种取法,放到上层时,若这两件相邻,有AA种放法,若这两件不相邻,有A种放法,所以不同调整方法的种数是C(AAA)840.故选C.7(2014达州模拟)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()A232 B252C472 D484答案C解析分两类:第一类,含有1张红色卡片,共有不同的取法CC264(种);第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法C3C22012208(种)由分类加法计数原理知不同的取法有264208472(种)8用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279答案B解析无重复的三位数有:AAA648个则有重复数字的三位数有:900648252个9(2014四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A192种 B216种C240种 D288种答案B解析第一类:甲在左端,有A54321120(种)方法;第二类:乙在最左端,有4A4432196(种)方法所以共有12096216(种)方法10方程ayb2x2c中的a,b,c3,2,0,1,2,3,且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有()A60条 B62条C71条 D80条答案B解析显然a0,b0,故该方程等价于yx2.当c0时,从3,2,1,2,3中任取2个数作为a,b的值,有A20种不同的方法,当a一定,b的值互为相反数时,对应的抛物线相同,这样的抛物线共有4312条,所以此时不同的抛物线有A614条当c0时,从3,2,1,2,3中任取3个数作为a,b,c的值有A60种不同的方法当a,c值一定,而b的值互为相反数时,对应的抛物线相同,这样的抛物线共有4A24条,所以此时不同的抛物线有A1248条综上,不同的抛物线有144862条11用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有_个(用数字作答)答案14解析若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制,对个位、十位、百位、千位,每个“位置”都有两种选择,所以共有16个4位数,然后再减去“2222,3333”这两个数,故共有16214个满足要求的四位数125名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种(用数字作答)答案48解析只有1名老队员的排法有CCA36种;有2名老队员的排法有CCCA12种所以共48种13(2014北京)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有_种答案36解析将产品A与B捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有AA种方法,将产品A,B,C捆绑在一起,且A在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有AA种方法于是符合题意的排法共有AAAA36(种)14(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_种(用数字作答)答案60解析把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C种分法,再分给4人有CA种分法,所以不同获奖情况种数为ACA243660.15回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3443,94249等显然2位回文数有9个:11,22,33,99.3位回文数有90个:101,111,121,191,202,999.则:(1)4位回文数有_个;(2)2n1(nN*)位回文数有_个答案(1)90
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