、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（ ）,、平行 、相交 、异面 、可能平行、可能相交、可能异面,、两条异面直线指的是（ ）,、没有公共点的两条直线,、分别位于两个不同平面的两条直线,、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线,、不同在任何一个平面内的两条直线,练习：,D,D,3、下列命题中，其中正确的是,（）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行,4. 若两直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系_ 5. 直线a和b分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则a和b的位置关系是_ 6如果OAO1A1，OBO1B1，AOB40，则A1O1B1 ,1空间两直线的位置关系,复习回顾：,2平行公理,3空间等角定理,4异面直线,空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线(不平行也不相交),4.2异面直线的画法,画异面直线一定要依托于平面,4.1定义,对于异面直线，如何判定，又如何进一步刻画呢？,用反证法证明：空间四边形ABCD的对角线AC，BD是异面直线 ,D,A,B,C,在空间四边形中，各边所在直线 异面的共有几对？,练习：,空间里,不在同一个平面上的四个点两两相连, 就是空间四边形,例1求证过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线 已知：A，B，Bl，l 求证：直线AB 和l是异面直线,定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是 异面直线,符号表示：若A，B，Bl， l，,则直线AB与l是异面直线, 两点一线一面,判定两条直线是异面直线的常用方法：,反证法,3.已知不共面的三直线a，b，c相交于点O，M，P是a上两点，N，Q分别在b，c上 求证：MN，PQ异面.,法二：（判定定理）ac=O，它们确定一个平面， 设为 ，由已知N平面 ，M平面 ， PQ平面 ，MPQ， PQ和MN是异面直线,证明：法一：（反证法） 假设PQ和MN共面，所确定的平面为， 那么点P、Q、M、N都在平面内， PM 即a O平面 直线OQ、ON都在平面内,即直线b、c都在平面内 直线a、b、c都在平面内，与已知条件a、b、c不共面矛盾， 假设不成立，AD和BC是异面直线,小结：异面直线的判定： 利用定义； 判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过 该点的直线是异面直线 符号表示：若A，B，Bl，l，则直线AB与l是异面直线 两点一线一面 常用方法：反证法,定量 异面直线所成的角,一、异面直线所成角的定义：,1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分 别作直线a1a，b1b。我们把直线a1和b1所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,b,为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。,2.异面直线a和b所成的角的范围：,如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。,因此，异面直线所成角的范围是（0， ,3、特例：,空间内O点“任取”，说明角的大小与点O的位置选取无关，只由两直线的相对位置所确定；,a,b,O,a,b,a,思考：异面直线所成角的大小与点O的位置选取有关吗？为什么？,a，b相交，将异面直线转化为平面内两相交直线所成的角进行度量，立体问题平面化；,找异面直线所成的角的关键是什么？,平移转化为平面角,例1.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。,四、例题分析：,解：（1）与直线BA1成异面直线有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D,（2）B1BC1C A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角 易求得所成的角为,例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角,O,主要步骤：构造平面角； 证明； 求角计算,(1)AC与B1D1； (2)AC与BC1 (3)A1B与B1D1 （4）BD1与AC,例2.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,D,C,B,A,A1,D1,C1,B1,异面直线所成角的求法,(2) BC1和AC,新课讲解：,例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角,O,主要步骤：构造平面角； 证明； 求角计算,转化为平面角,(3)A1B与B1D1,D,C,B,A,A1,D1,C1,B1,异面直线所成角的求法,o,E,（4）BD1与AC,D,C,B,A,A1,D1,C1,B1,异面直线所成角的求法,补形法,（4）BD1与AC,练习如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为所在棱的中点，求下列各对异面直线所成的角,O,* 中位线,(1)EF与MN； (2)EF与BD1,例2空间四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD，AC的中点， (1)若BCAD2EF，求直线EF与AD所成角的大小 (2)若AB8，CD6，EF5，求AB与CD所成角的大小,B,C,D,A,E,F,求异面直线所成的角的一般步骤是：,根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成的角。其方法为：,平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。,(1)找出或作出有关的图形； (2)证明它符合定义； (3)计算。,即：一证二作三求,具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。,1异面直线的判定,小结：, 利用定义； 判定定理：若A，B，Bl，l，则直线AB与l是异面直线 两点一线一面 常用方法：反证法,2异面直线所成的角,练习： 1.指出下列命题是否正确，并说明理由. 过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线. 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. 若ab，ca则bc 若ca，bc则ab 分别与两条异面直线a，b都相交的两条直线c，d一定异面.,2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1所成角为60的面对角线 有 条,3.已知不共面的三直线a，b，c相交于点O，M，P是a上两点，N，Q分别在b，c上 求证：MN，PQ异面.,法二：（判定定理）ac=O，它们确定一个平面， 设为 ，由已知N平面 ，M平面 ， PQ平面 ，MPQ， PQ和MN是异面直线,证明：法一：（反证法） 假设PQ和MN共面，所确定的平面为， 那么点P、Q、M、N都在平面内， PM 即a O平面 直线OQ、ON都在平面内,即直线b、c都在平面内 直线a、b、c都在平面内，与已知条件a、b、c不共面矛盾， 假设不成立，AD和BC是异面直线,4.如图在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点 求证：四边形ABCD是平行四边形； 若ACBD，求证：四边形ABCD是菱形； 当AC与BD满足什么条件时，四边形ABCD是正方形?,A,B,F,C,D,H,E,G,