1,第三章 空间向量与立体几何,3.1 空间向量及其运算,第1课时 空间向量及其加减运算,复习回顾：平面向量,1.定义：,既有大小又有方向的量。,已知F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为600,它们的合力的大小为多少N?,这需要进一步来认识空间中的向量,平面中存在向量,空间中是否也有向量?,4,向量加法的平行四边形法则,向量加法的三角形法则,向量减法的三角形法则,2、空间向量的加法和减法运算法则,回顾：平面向量的加、减法运算法则：,5,5,思考1：在平面中，一个向量经过平移后和原向量相等，在 空间向量中呢？,思考2：空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的 两个向量吗？,结论：空间任意两个向量的运算都 可转化为共面向量的运算.,思考3：空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向 量的运算？,空间向量的加减运算和平面有什么联系？,6,空间向量的加减运算,平行四边形法则,三角形法则,7,7,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则这些向量的和为零向量，即,8,8,3、空间向量的加法运算律,回顾：平面向量的加法运算律,加法交换律：,加法结合律：,空间向量中还成立吗？,思考：空间任意两个向量可都转化为共面向量，那么空间任意三个向量也都能转化为共面向量吗？,9,9,3、空间向量的加法运算律,加法交换律：,空间向量中显然成立,加法结合律：,10,11,解：,例题,13,变式2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,变式2 ：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,3.1.2 空间向量的数乘运算,17,以上运算称为空间向量的数乘运算.,一、,空间向量的数乘运算定义：,（4）空间共线向量定理：,对空间任意两个向量,有且只有一个实数 ， 使,思考：这个定理有什么作用？,1、判定两个向量是否共线,2、判定三点是否共线,3.1.3 空间向量的数量积,20,已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab. ab=|a| |b| cos,规定:零向量与任一向量的数量积为0。,回顾：平面向量数量积定义：,类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算呢？,1.两个空间向量的夹角的定义:,A,B,2.两个空间向量的数量积定义,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,3.两个空间向量数量积的性质,注： 性质 是证明两向量垂直的依据； 性质 实现了向量与向量模之间的转换；,例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）,25,例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）,26,3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示,都叫做基向量,叫做空间的一个基底,如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。,单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 表示,正交基底：空间的一个基底的三个基向量互相垂直。,二、空间直角坐标系,二、空间直角坐标系,在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,以点O为原点，分别 以 的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.,三、空间向量的正交分解及其坐标表示,x,y,z,O,i,j,k,P,记作 =(x,y,z),由空间向量基本定理，对于空间任一向量 存在唯一的有序实数组(x,y, z)使,P,P,1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A.2a，ab，a2b B2b，ba，b2a C .a,2b，bc Dc，ac，ac,E,F,练习 2,例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA， BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量 表示 和 。,3.1.5空间向量运算的坐标表示,一、向量的直角坐标运算,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,二、距离与夹角,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,思考：当 及 时，夹角在什么范围内？,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,（3）空间两点间的距离公式,4.设 则 ， AB的中点M的坐标为 ,例1.设 (1,5，1)， (2,3,5) (1)若( )( 3 )，求 ； (2)若( )( 3 )，求 .,练习1: 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证:,证明:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例2 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,