1 第第 8 8 讲讲 空间中的平行与垂直空间中的平行与垂直 1.(2018 江苏盐城高三期中)设向量 a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若 c=xa+yb(x,yR),则 x+y= . 2.已知角 的终边经过点 P(-1,2),则= . sin( + ) + 2cos(2 - ) sin + sin( 2 + ) 3.已知 m,n 是不重合的两条直线, 是不重合的两个平面.下列命题:若 m,m,则 ;若 m,mn,则 n;若 m,m,则 ;若 ,m,则 m.其中所有真命题的序号为 . 4.如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3,AD=2,且=,=,则= . BE EC DF 1 2FCAEBF 5.(2018 苏锡常镇四市高三情况调研)已知 a0,b0,且 + =,则 ab 的最小值是 . 2 a 3 bab 6.(2017 镇江高三期末)已知锐角 满足 tan=cos,则= . 6 sin + cos sin - cos 7.(2018 江苏盐城中学高三阶段性检测)设锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin= (C + 3) b. 3 (1)求 A 的值; (2)求 cos2B+2cosAsinB 的取值范围. 2 8.(2018 常州教育学会学业水平检测)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PC平面 ABCD,PB=PD, 点 Q 是棱 PC 上异于 P、C 的一点. (1)求证:BDAC; (2)过点 Q 和 AD 的平面截四棱锥得到截面 ADQF(点 F 在棱 PB 上),求证:QFBC. 3 答案精解精析答案精解精析 1.答案 8 3 解析 根据题意,向量 a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若 c=xa+yb(x,yR),则有解得则 7 = 2x + 3y, 8 = 3x + 3y, ? x = 1, y = 5 3, ? x+y= . 8 3 2.答案 -4 解析 由已知得 sin=,cos=-,原式=-4. 2 5 1 5 - sin + 2cos sin + cos - 2 5 - 2 5 2 5 - 1 5 3.答案 解析 若 m,m,则 或 , 相交,错误;若 m,mn,则 n 或 n, 平行或相交,错误;若 m,m,则 ,正确;若 ,m,则 m 或 m,错误,故真命题的序号为. 4.答案 -4 解析 =(-)=- +=-6+2=-4. AEBF(AB + 1 2AD)AF AB (AB + 1 2AD) (AD - 2 3AB) 2 3AB2 1 2AD 2 5.答案 2 6 解析 因为 a0,b0,所以= + 2,解得 ab2,当且仅当 = 时取等号,故 ab 的最小值是 2. ab 2 a 3 b 6 ab6 2 a 3 b6 6.答案 3+2 2 解析 由 tan=cos 得 sin=cos2=(1-sin2),又 是锐角,解得 sin=(舍负),则 666 2 3 6 3 cos=,所以=3+2. 1 - sin2 3 3 sin + cos sin - cos 6 3 + 3 3 6 3 - 3 3 2 + 1 2 - 12 7.解析 (1)由正弦定理和两角和的正弦公式可得 2sinA=sinB, ( 1 2sinC + 3 2 cosC) 3 4 sinAsinC+sinAcosC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 3333 化简得 sinAsinC=cosAsinC,C 是锐角, 3 则 sinC0,sinA=cosA,tanA=, 33 则锐角 A= . 3 (2)因为ABC 是锐角三角形,所以 C=-B,B,sinB,则 2 3 (0, 2) ( 6, 2) ( 1 2,1) cos2B+2cosAsinB=cos2B+sinB=-2sin2B+sinB+1=-2+ ,所以 cos2B+2cosAsinB(0,1). (sinB - 1 4) 2 9 8 8.证明 (1)PC平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 BDPC,记 AC,BD 交于点 O,连接 OP,平行四边形对角线互相 平分,则 O 为 BD 的中点.又PBD 中,PB=PD,所以 BDOP. 又 PCOP=P,PC,OP平面 PAC,所以 BD平面 PAC,又 AC平面 PAC,所以 BDAC. (2)四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ADBC,又 AD平面 PBC,BC平面 PBC,所以 AD平面 PBC, 又 AD平面 ADQF,平面 ADQF平面 PBC=QF,所以 ADQF,又 ADBC,所以 QFBC.