1 第第 1414 讲讲 函数的零点问题函数的零点问题 1.设 x0是函数 f(x)=3x+3x-8 的一个零点,且 x0(k,k+1),kZ,则 k= . 2.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m= . 3.(2018 江苏如皋高三上学期调研)一个封闭的正三棱柱容器,高为 3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态), 将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点 E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中 水面的高度为 . 4.(2018 江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在平面直角坐标系 xOy 中,设点的集合 A=(x,y) ,B=,且 AB,则实数 a 的取值范围是 . |(x - 1)2+ (y - 1)2= a2 ? (x,y)| x 3, x + y - 4 0, x - y + 2a 0 ? ? 5.设 为锐角,若 cos= ,则 sin的值为 . ( + 6) 4 5 (2 + 12) 6.在平行四边形 ABCD 中,AD=4,BAD= ,E 为 CD 的中点,若=4,则 AB 的长为 . 3ACBE 7.(2018 南京高三学情调研)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC,E 是 BC 的中点, 求证:(1)平面 AB1E平面 B1BCC1; (2)A1C平面 AB1E. 8.(2018 苏锡常镇四市高三调研)已知椭圆 C: + =1(ab0)经过点,点 A 是椭圆的下顶点. x2 a2 y2 b2 ( 3, 1 2)(1, 3 2) 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 A 且互相垂直的两直线 l1,l2与直线 y=x 分别相交于 E,F 两点,若 OE=OF,求直线 l1的斜率. 3 答案精解精析答案精解精析 1.答案 1 解析 因为 f(1)=3+3-80,且函数 f(x)=3x+3x-8 单调递增,所以 x0(1,2),即 k=1. 2.答案 - 1 4 解析 由题意得 m0,双曲线的标准方程为 y2-=1,则- =4,m=- . x2 - 1 m 1 m 1 4 3.答案 9 4 解析 因为 E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱 EFCB-E1F1C1B1的体积 V=S四边形 EFCB3= SABC3= SABC,设 3 4 9 4 图甲中水面的高度为 h,则 SABCh= SABC, 9 4 h= ,故答案为 . 9 4 9 4 4.答案 0, 2 解析 由 AB 得集合 A 中的点都满足 B 中的不等式组,则 a0,且所以 0a. a 2, a 2, a 2a 2, ? 2 5.答案 172 50 解析 由条件可得 cos=2cos2-1= ,sin= ,所以 sin=sin (2 + 3) ( + 6) 7 25 (2 + 3) 24 25 (2 + 12) =. (2 + 3) - 4 2 2 ( 24 25 - 7 25) 172 50 6.答案 6 解析 由点 E 是 DC 的中点,得=+=-. BE BC CE AD 1 2AB 所以=(+) ACBEAD AB(AD - 1 2AB) 4 =-+=16-+ 4 =4,化简得-2-24=0,解得=6(舍负). |AD|2 1 2|AB| 2 1 2ADAB 1 2|AB| 2 1 2|AB| 1 2|AB|2|AB|AB| 7.证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, CC1平面 ABC.因为 AE平面 ABC,所以 CC1AE. 因为 AB=AC,E 为 BC 的中点,所以 AEBC. 因为 BC平面 B1BCC1,CC1平面 B1BCC1, 且 BCCC1=C,所以 AE平面 B1BCC1. 因为 AE平面 AB1E,所以平面 AB1E平面 B1BCC1. (2)如图,连接 A1B,设 A1BAB1=F,连接 EF. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,四边形 AA1B1B 为平行四边形, 所以 F 为 A1B 的中点.又因为 E 是 BC 的中点,所以 EFA1C. 因为 EF平面 AB1E,A1C平面 AB1E,所以 A1C平面 AB1E. 8.解析 (1)由题意得解得即 3 a2 + 1 4b2 = 1, 1 a2 + 3 4b2 = 1, ? 1 a2 = 1 4, 1 b2 = 1, ? a2= 4, b2= 1, ? 所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. x2 4 (2)由题意知 A(0,-1),直线 l1,l2的斜率存在且不为零,设 l1:y=k1x-1,与直线 y=x 联立有得 E y = k1- 1, y = x, ? , ( 1 k1- 1, 1 k1- 1) 易得直线 l2:y=- x-1,同理,F 1 k1 , ( 1 - 1 k1 - 1, 1 - 1 k1 - 1) 5 因为 OE=OF,所以= | 1 k1- 1| , | 1 - 1 k1 - 1| =,k1+ =0 无实数解; 1 k1- 1 1 - 1 k1 - 1 1 k1 =-,k1- =2,-2k1-1=0,解得 k1=1. 1 k1- 1 1 - 1 k1 - 1 1 k1 k2 12 综上所得,直线 l1的斜率为 1. 2