-_第七章 群 论1 群的基本概念和一般理论一、群的定义和例子群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：1. 封闭性G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。如A属于G：B属于G：则有 () （7.1-1）“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。一个数学群必须首先定义一种乘法。2. 缔合性三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。如 A B C=A ( B C )= (A B ) C (7.1-2)即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。3. 单位元素G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即E A=A E=A, (7.1-3)称E为单位元素或恒等元素。4. 逆元素G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即A=A=E, (7.1-4)称为的逆元素。逆元素可以是该元素本身。下面我们举几个群的例子（2） G=所有大于0的实数集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。满足封闭性和缔合性是显然的。1是单位元素，任一实数m的逆元素为。(3) G=0,1, 2, 3n集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。此例中“乘”的意思是加。1+2=3 封闭性满足1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足0+3=3+0=3 0是单位元素n+(-n)=0 n有逆元素-n 213（4） G=E、I ( Ci )这个群（称为Ci）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。这种群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。把E和I作用到任意函数上，结果为： 如果对先用E作用，再用I作用：,因为是任意函数，故，I E=I0（可见，在这里“乘”的意思就是指连续作用）。同理，E I=I;I I=E;E E=E。可以把以上结果归纳为乘积表（或称乘法表）：EIEEIIIE可见封闭性满足。I E I=( I E ) I=I I=EI E I=I ( E I )=I I=E可见缔合性满足。单位元素是E，E的逆元素是E，I的逆元素是I。（5） H2O分子（）我们选z轴通过氧原子并平分氢原子之间的连线。于是整个水分子再yz平面上，有一个对称面，为xz平面，与此相联系，存在一个镜面反映动作，亦用表示。另一个对称面，为yz平面，与此相联系的操作是。有一个对称轴c，就是z轴，即分子绕z轴转动180复原，此对称操作亦用C2表示。还有一个对称操作是E：不动。因此，这个点群包含四个对称操作： G=E,c2， 称为。其乘积表为： 214 群元素为对称操作的群称为对称群（Symmetry group），亦称为点群（Point group），因为所有对称操作进行时至少有一个点保持不动，或从对称元素来定义：因为所有对称元素只收在一个点相交。215(1) G=1, -1, I, -i对普通乘法而言，构成一个群。封闭性：1 (-1) = -1(-1) (-1) = 1i i = -1i (-i) = -1缔合性：1 i (-1) = i i (-1) =i (-1) = -i1 i (-1) = 1 i (-1) = 1 (-i) = -i 等。单位元素：1逆元素：i (-i) = 1 (-1) (-1) = 1 1 1 = 1群中元素的数目称为群的“阶”，用h表示，本例中h = 4。显然例(2)(3)中群元素的书目h为无穷大，故称为无限群，例(1)则是有限群。应当区别对称操作和对称元素这两个概念，对称操作是一种动作，通过这种动作可使物体(包括分子)或图形复原，对称操作所赖以进行的几何要素(点、线、面) 称为对称元素，如一个大分子(如本例中的H2O分子)能沿某一轴（如本例中的Z轴）旋转180，转动后所得分子和原来完全一样(复原)，则称这个分子有二重轴。在群论中二重轴和旋转180这个动作都用同一个符号C2表示，而群元素则是对称操作。从抽象的观点看，在数学上具有相同性质，尽管其元素含义实际上不一样。如例(1) U = 1, -1, i, -i和军训的基本动作所构成的群向右转立正 V = , , , 向左转向后转同构，1 ，-1 ，i ，-i ， 且 -1 i = -i 对应 = 等。显然两个同构的群具有相同的阶，且乘积表的“结构”相同，因此若已知D3和C3v同构且已知C3v的乘积表，则容易写出D3的乘积表，只要把C3v中的，都换成(手稿看不清)216EEEEEE乘积表中第一行，第一列，及对角线元素(如C2C2 = E等)易知，C2 = 等可这样得到：任选一个点1，先作用得2，再作用C2得3，通过的作用可直接由13，可见C2 = 。由乘积表可见封闭性满足。c2 = (c2 = = E c2 = c2 = c2 c2 = E可见缔合性满足。每个元素的逆元素也可以从乘积表得到，如 = ， = ， = 单位元素是E。上面讨论的五个粒子，对群元素的乘法而言是对易的，即AB = BA。例(1)(2)(3)很显然，例(4)(5)也可以从乘积表中看出。但是从群的定义，我们知道对易性不是群的必要条件，即不是所有的群都具有对易性的，我们称这些具有对易性的群为对易群(Abel群)。注下面举一个非对易群的粒子。(5) NH3分子(C3v)NH3分子的空间构型如图6-2(i)( i ) ( ii ) ( iii )图7-2 NH3分子三个H原子构成一个正三角形，如果作俯视图（即从N原子往下看），则如图7-2 ( ii )。通过等边三角形的三个顶角的平分线，垂直于等边三角形有三个面（包含了N原子）是对称面，称它们为，。(如图7-2(iii)）由N原子，向三角形作垂直线，是一个三重轴，用C3表示，存在转 = 120这样一个对称操作；另外，转240=120 2也能使图形复原，故还有对称操作，加上不懂；E，一共6个对称操作：E， C3，注：Abel(18011829)：奠定群论数学基础的年轻数学家之一。 217G=E, , , ,是一个点群，称为，其乘积表如下：EEEEEEEE先规定逆时针旋转！所以=（操作写在后面表示先作用）积分表中的元素得到方法示例于右：故由乘积表可见封闭性满足。缔合性满足，如： =（）=E =E单位元素是E =故群的四个基本条件全部满足。从乘积表中我们还可以看出：（1） = 故 是非对易群（2）两个旋转相乘，结果是旋转。如 =（3）两个镜像反映相乘，结果是旋转。如 （4）一个镜像反映和一个旋转相乘，结果是镜像反映。如 =(5)设x，y，z，都是群中元素 z=xy则 如：= =(一般证明见后) 218（6）乘积表中每一行或每一列，每个元素都出现一次，只是排列次序不听，这称为重拍定理，可以一般证明如下。设G=E，共h个元素，用表示其中的任何一个。XG,则xG= xE， (任一行)Gx=( Ex，) (任一列)我们来证明Gx=G（xG=G同理可证）证明i)根据封闭性，若xG,G,则Gii)设,则反证法：若有则有 即 和假设矛盾！故 ，即没有重复出现的。群 Ex， 一共也是h个元素，每个元素也都属于G ，且每个元素都不同。可见Gx=G即乘完以后，只是群元素的次序有所变化，是那几个群元素，群元素的个数都是不变的。以上证明Gx=G相当于证明了乘积表中每一列满足重排定理，对每一行，即xG=G同理可证。 重拍定理的用处是检验乘积表正确与否当某一行或某一列缺一个结果可以用重拍定理把它填上。课堂练习：构造的乘积表二、子群及其陪集首先看分子的对称性，如图7-3所示，是一个三角双锥。中间有一个三重轴（主轴），垂直于轴有一个对称面（），在这个面上有三个垂直于轴的轴。还有三个包含轴和轴的对称面（），还有 一共有十二个对称操作，属于群。 G=E,=注：因为对于象转运动，可能有些读者不如对旋转、反映、倒反那么熟悉，这里简要说明一下。象转是旋转和反映的复合对称操作，实现这一对称操作所凭借的对称要素称为象转轴。通常都是用表示。=当p=偶数时：=当p=奇数时：=因此 当n=偶数时 当n=奇数时 而（不管n是奇或偶都对） 219在这个群里面,可以找到一个较小的群,如C3=E，c3，,D3= E，c3，c32，c2， ，,称C3, D3为D3h的子群。在C3, D3里面还能找到更小的群：c3。c3： E,c3,c32是三阶群。还有二阶群：E, 、E