平面向量数量积的物理背景及其含义,一、向量数量积的物理背景,在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功,我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。,二、向量 与 的数量积的概念,已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，则我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作： .,规定：零向量和任一向量的数量积为0,思考：, =| | | | cos,当0 90时 为正；,当90 180时 为负。,当 =90时 为零。, =| | | | cos,解：ab = |a| |b|cos =54cos120 =54（-1/2） = 10,例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,| b | cos叫向量b 在a 方向上的投影,为锐角时， | b | cos0,为钝角时， | b | cos0,为直角时， | b | cos=0,几何意义,数量积 a b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos 的乘积.,特别地,四.数学运用,例1:,注意：,“ ”不能省略不写，也不能写为“”，数学中“ a b”表示两个向量的向量积(或外积),a b表示数量而不表示向量，与实数a b不 同, a+b 、 a-b表示向量； （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0， 不能推出b=0.因为其中cos有可能为0. （4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc不能得到 a=c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc),练习,判断下列说法是否正确,(),(),(),(),(),(),二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,证明运算律(3),例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,解:,作业：,