人工智能及其应用,第四章 计算智能（模糊计算）,目录,概述 模糊变换与模糊集合 模糊矩阵及模糊关系 模糊逻辑推理 模糊判决方法 模糊控制,一、概述,模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学。 “模糊性”主要是指客观事物差异的中间过渡的“不分明性”，例如“高与矮”、“干净与脏”、“美与丑”、“冷与热”等等，都难以明确的划定界限。 人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象，但计算机对模糊现象识别能力较差。,一、概述,为了提高计算机识别模糊现象的能力 需要把常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序。 需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学 家深入研究模糊数学。 模糊数学不是让数学变成模糊的概念，其关键在于如何寻求适当的数学语言来描述事物的模糊性。,1.1 随机性与模糊性,随机性 在事物的出现与否上表现的不确定性 用在0，1上取值的概率分布函数表示，用统计数学研究随机性事件 AI中，研究方法有： 主观贝叶斯法： if EP(E) then (LS,LN) HP(H) 即在E为概率P(E)的条件下，具有一定充分性和必要性条件时推理得到H的概率为P(H)。 可信度法：if E then H(CF(H,E) 即由E推理得到H的可信度为CF(H,E)。,1.1 随机性与模糊性,模糊性 被研究事件的概念本身是模糊的，这种由概念的模糊而形成的不确定称为模糊性。 用在0，1上取值的隶属函数说明模糊性。,1.1 随机性与模糊性,结论 随机性：对确定性事件作不充分的估计-概率 模糊性：对不确定性事件作确定性程度的描述-隶属函数 例：明日气温是15的概率为0.1 明日是较暖和气温的可能性为0.1（隶属函数） 电压是220V的概率为0.95 电压是合格的可能性为0.95（隶属函数）,1.2 模糊数学起源,Zadeh于1965后首次提出了模糊集合概念。 模糊子集：用经典数学处理模糊性现象的集合，采用0，1闭区间和映射的方法 确定性与模糊性的联系分解定理 具有一定条件的确定性现象可以表现为模糊性现象，或模糊性现象可以分解为确定性现象。,1.2 模糊数学起源,Zadeh的模糊子集论不是唯一地处理模糊性现象的数学方法，但它开创了应用经典数学处理模糊性问题的先河，并使模糊集合论及应用取得较大成果。它是应用经典数学方法处理一类最基本、简单的模糊性现象的理论和方法。,二、 模糊变换与模糊集合,模糊变量 事物的模糊性以知识表述，而知识又以数学的变量来说明事物本身的概念。 模糊变量是指清晰变量的模糊化。例如“电压U”是通常意义下的变量，而“较低电压”则为一个模糊变量。 用隶属函数说明其模糊性。,2.1 模糊集合的定义,经典集合：具有某种共同性质，彼此可以区别的事物的总体，具有确定性、互异性和无序性。 经典集合中，一个事物只能是属于（是）或不属于（假）某一集合，即,为经典集合A的特征函数,2.1 模糊集合的定义,模糊集合 集合界限模糊 非此即彼即此即彼 模糊集合定义 设 是论域，称映射 ，确定了一个 上的模糊子集 ，映射 称为 的隶属函数，它表示对 的隶属程度。,2.1 模糊集合的定义,使 的点称为 的过渡点，此点最具有模糊性。 当映射 只取1或0时，模糊子集 就是经典子集，而 就是它的特征函数，可见经典子集是模糊子集的特殊情形。,2.1 模糊集合的定义,如 为年龄，则 的范围为0150，而 =年轻则是 的一个子集，而映射 表示论域 中每个元素对应“年轻”的隶属程度。,2.1 模糊集合的定义,模糊集合的表达方式 Zadeh表示法：X为离散有限域 时，F表示为：,例：,2.1 模糊集合的定义,序偶表示法：顺序不能改变，即 向量表示法：顺序不能改变，即,2.1 模糊集合的定义,X为连续有限域 例：年龄,不表示积分，而表示论域X为连续域,2.1 模糊集合的定义,从上例中可看出： 一个有限论域上可以对应无限个模糊子集，而经典子集是有限的； 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的。,2.2 模糊集合的基本性质,关于模糊集合的几个基本性质 台（support）集合（模糊支集） 子集F中， 的元素称为台 台集合即是这些台元素的集合。 如 的台集合为,2.2 模糊集合的基本性质,正则（normal）模糊集合 若有 则称为正则模糊集合。 如 、 均为正则模糊集合。,2.2 模糊集合的基本性质,凸模糊集合 若有 ，则称为凸模糊集合。,2.2 模糊集合的基本性质,单点模糊集合 若X中，F的台集合仅为一个点，且该点的 ，则称F为单点模糊集合。 核 台集合的最大值对应区,2.2 模糊集合关系及运算,相等：设有两个模糊集全A和B， 当且仅记当它们的隶属函数在论域上恒等，即 包含： 包含于 当且仅当对于论域 上,2.2 模糊集运算,交集 并集 补集,2.2 模糊集运算,截（割）集及分解定理 截集,2.2 模糊集合运算,截集性质,2.2 模糊集合运算,分解定理（分解原理） 联系模糊集合与清晰集合的一个桥梁 若有模糊集 ， 是A的一个截集，则有下列分解式成立：,U为组合,也是论域X上的一个模糊子集。,2.2 模糊集合运算,例： ，并有,则,利用分解定理，将截集组合还原为模糊集，以上例所得结果为例：,2.2 模糊集合运算,三、 模糊矩阵与模糊关系,模糊关系 是模糊集合进入应用的重要基本概念。 描述模糊集合的元素与元素之间或此集合与彼集合的元素关系。 当论域X为有限域时，用模糊矩阵表示模糊关系。,3.1 模糊矩阵,一般定义：用矩阵形式来表示两个模糊集合的元素之间或模糊集合中各元素之间的关系，此矩阵即为模糊矩阵。矩阵元素为 ，i为行，j为列。,3.1 模糊矩阵,正规定义： 当有模糊集合 ，有 ，则称 为模糊矩阵。 为 对于关系r的隶属度。,3.1 模糊矩阵,模糊矩阵的截矩阵 设 ，对于任意 定义： ，则 称为R的截矩阵。 性质：当 对任意 ，有,3.1 模糊矩阵,例：,则：,3.2 模糊关系,概念 设有集合 ，问：该集合中“小于”，“小得多”两个关系。,（清晰）,（模糊）,矩阵元素,3.2 模糊关系,模糊关系是普通关系的拓宽。 例：身高 与体重 的“正常”关系R为：,3.2 模糊关系,定义 模糊关系是两个非空模糊集合X、Y的直积（叉乘）中的一个模糊子集。 设X和Y是两个论域，模糊关系R是积空间 上的一个模糊集合，即当 的隶属函数为 。,R的元素,表示：,对,这一关系的,隶属度。如y比x大得多这一关系：,3.2 模糊关系,当用有限连续域表示时，模糊关系 y比x大得多（ ） x比y大致相同 y比x小得多,3.3 模糊关系的合成,合成关系 两个模糊关系的合成构成一个新的模糊关系。如：普通关系合成：叔侄=（兄弟o父子），师生=（教师o学生）。 定义：设P是 上的一个模糊关系，Q是 上的一个模糊关系。R与S是 上的两个模糊关系。,3.3 模糊关系的合成,合成关系有两种定义 1） 是P与Q的合成： 2） 也是P与Q的合成： 有：,先小后大,先大后小,3.3 模糊关系的合成,以上关系也可表述为： 则：,3.3 模糊关系的合成,3.4 模糊关系的性质,自返性 对称性 传递性 对比性,四、模糊逻辑推理,模糊集合论的应用（控制、辨识等）是基于“专家知识”采用语言规则（模糊逻辑语言）表示的一种人工智能。 模糊逻辑语言是表述模糊知识，而模糊知识的推理是指运用已掌握的（模糊）知识，找出其中蕴含的事实，或归纳出新的事实。这一过程通常就称推理，而模糊知识的表述则建立在模糊逻辑概念上。,4.1 模糊逻辑语言,模糊逻辑语言 分类 自然语言：具有模糊性 形式语言：二值逻辑语言，如计算机机语言 定义 凡含有模糊概念的语言均为模糊语言 用符号系统来描述。,4.1 模糊逻辑语言,若一个变量能够用普通语言中的词（如小、大和快、慢等）来取值 ，则该变量就定义为语言变量。所用的词常常是模糊集合的标识词。一个语言变量的取值既可为词也可为数据。,4.1 模糊逻辑语言,表述形式 仿照集合概念，设“单词”的论域为X，“模糊的单词”只是X上的一个模糊子集A，单词通过“或”、“与”、“非”构成词组，如：,4.1 模糊逻辑语言,模糊语言算子 在单词或词组前加上一些前缀词，可构成不同性质的词组，这些前缀称为语言算子，常用的算子有以下三种： 语气算子 模糊算子 判定化算子,4.1 模糊逻辑语言,语气算子 表达语言中对某一单词或词组的确定性程度，如“很”、“非常”、“十分”等等。 设A为论域X的一个模糊子集，即 则 称为语气算子， 为正实数，即相当于前述的“水平”。,4.1 模糊逻辑语言,表现为强化（集中）作用， 时起淡化（扩展）作用。 一般设定： A是说明某事物的语句，加上 ，就可以运算（集中或扩展）。,4.1 模糊逻辑语言,模糊算子 使清晰概念的词或词组的词义模糊化，如“大概”、“近似”等等。 对已模糊的概念，加上模糊算子后，改变其模糊程度。 用F表示模糊算子，有,4.1 模糊逻辑语言,为论域X上一个相似关系（大约关系），一般取为正态分布。如下图及关系式：,4.1 模糊逻辑语言,A是一个确定子集，如图示，在 时 ，加上模糊算子（实为 ）后，在一个区间内，有“大约” 的模糊程度。 越大，则明显地模糊化程度也越大，如果原来已是模糊化的，改变 也改变其模糊程度。,4.1 模糊逻辑语言,判定化算子 对一个模糊集A，乘上一个判定算子，求出其“倾向性”。判定算子与模糊算子恰好是对耦形式。使模糊语句清晰化，如“偏向”、“大半是”等等。 表示为：,4.1 模糊逻辑语言,P为判定算子，是定义于0，1区间上的实函数。当 时， 表示倾向。 表示在 的作用下，由一个幂集 转到另一个幂集 。,4.1 模糊逻辑语言,例： 年轻 年轻（ ）=倾向年轻。 表示为电压倾向于（基本）正常。可写成：,4.1 模糊逻辑语言,语言值的四则运算 语言用符号表示后，均可以成为实数域R或其子集为论域的一个子集，从而可以计算。 符号表示 在论域X=1，2，9，10上，定义以下语言：,4.1 模糊逻辑语言,4.1 模糊逻辑语言,模糊数的四则运算 将语言当成模糊数，而模糊数可进行四则运算，运算结果仍是模糊数。 设有两个模糊数x，y，则 也是模糊数，且,4.1 模糊逻辑语言,4.1 模糊逻辑语言,模糊语言变量 语言变量是指以自然或人工语言中的“字”或“句”作为变量。 语言变量取为模糊集合时，则成为模糊语言变量。 模糊语言变量与模糊变量相比较，是一个级别更高的变量，它有句法规则和语义规则。 前述模糊逻辑函数 的 即为模糊变量，或称为“字”。,4.1 模糊逻辑语言,一个完整的模糊语言变量可定义为一个五元体（五维组），可简写为： 语言变量名称x 语言变量语言值名称的集合T(x) 论域U 语言规则G：说明一个完整的语句形式； 语义规则M：说明语句所在论域的范围。,4. 2 模糊逻辑推理,模糊逻辑是建立于模糊集合和二值逻辑概念基础上的一类特殊的多值逻辑。 是二值逻辑