13.4 课题学习 最短路径问题,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短, ,()两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。,P,连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。,思考？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？,根据：两点之间线段最短.,引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,引入新知,问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？,探索新知,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,探索新知,（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；,探索新知,追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,探索新知,追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）,追问1 对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB的长度 相等？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,追问2 你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B吗？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B； （2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即 AC +BC 最短,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,探索新知,追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,探索新知,追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？,1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。,A,()一点在两相交直线内部,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,B,C,D,E,分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,()一点在两相交直线内部,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求,