第二章 单方程计量经济学模型,2.1 回归分析概述 2.2 单方程模型概述 2.3 一元线性回归模型的估计 2.4 多元线性回归模型的估计 2.5 极大似然法,单方程计量经济学模型是相对于联立方程计量经济学模型而言的，它以单一经济现象为研究对象，模型中只包含一个方程，通过回归分析揭示因素之间的单向因果关系，是应用最为普遍的计量经济学模型。根据方程中变量的数量，单方程计量经济学模型又可分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。,a) 回归分析的含义与特点； b) 变量间非线性关系的线性化方法； c) 单方程线性模型建立的基本假设； d) 一元线性回归模型的估计方法； e) 多元线性回归模型的估计方法。,本章学习目的,2.1 回归分析概述,2.1.1 回归分析的含义和特点 2.1.2 回归分析的基本概念,2.1.1 回归分析的含义和特点,1回归分析的含义,经济变量之间的关系，大体可分为两类： （1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。 （2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。,对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlation analysis)或回归分析(regression analysis)来完成的：,例如：函数关系：,统计依赖关系/统计相关关系：,不线性相关并不意味着不相关； 有相关关系并不意味着一定有因果关系； 回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。 相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。,注意：,2回归分析的特点,回归分析主要研究具有统计相关关系变量间的因果关系，变量的地位是不对称的，有解释变量与被解释变量之分，而且解释变量往往被假设为非随机变量。回归分析更加关注变量间的具体依赖关系，因此，可以进一步通过解释变量的变化来估计或预测被解释变量的变化，达到深入分析变量间依存关系，掌握其运动与变化规律的目的。,2.1.2 回归分析的基本概念,回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。 其用意在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。 这里前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable），后一个（些）变量被称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。,回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括： 根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程； 对回归方程、参数估计值进行显著性检验； 利用回归方程进行分析、评价及预测。,2.2 单方程模型概述,2.2.1 单方程模型的表示 2.2.2 变量间的非线性关系 2.2.3 非线性模型线性化方法,2.2.1 单方程模型的表示,2矩阵形式,用矩阵形式表示单方程计量经济学模型为：,其中，,2.2.2 变量间的非线性关系,在实际经济活动中，经济变量间的线性关系并不多见，大部分是复杂的非线性关系。例如，著名的恩格尔曲线表现为幂函数曲线形式，宏观经济学中的菲利普斯曲线表现为双曲线形式等。宏观经济学中研究的主要非线性关系有以下几类。,1倒数模型,例如，商品的需求曲线是一种双曲线形式，商品需求量Q与商品价格P之间的关系表现为非线性倒数模型关系：,2多项式模型,例如，著名拉弗曲线描述的税收s和税率r的关系是抛物线形式：,3幂函数模型,例如，著名的Cobb-Dauglas生产函数将产出量Q与投入要素（K，L）之间的关系描述为幂函数形式：,4指数函数模型,例如，生产中成本C与产量Q的关系为指数关系：,5其它复杂函数模型,例如，著名的CES生产函数将产出量Q与投入要素（K，L）之间的关系描述如下：,2函数变换法,例如，（2.7）式与（2.8）式中，同时分别对方程两边取对数，即形成线性模型，分别为：,3级数展开法,例如，（2.9）式中，方程两边取对数后得到： 将（2.14）式中的 在 处展开泰勒级数，取关于 的线性项，即得到一个线性近似式。如取0阶、1阶、2阶项，可得：,2.3 一元线性回归模型的估计,2.3.1 单方程线性模型建立假设条件 2.3.2 一元线性回归模型的普通最小二乘估计方法 2.3.3 一元线性回归模型估计量的性质,2.3.1 单方程模型建立假设条件,回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。 估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。 注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。,1、如果假设1、2满足，则假设3也满足; 2、如果假设4满足，则假设2也满足。,注意：,以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。,2.3.2 一元线性回归模型的普通最小二乘估计方法,普通最小二乘估计（Ordinary Least Square）是最为重要的一种估计方法。它是通过应用最小二乘原则得到参数估计量，是其它特殊估计方法的基础。 应用普通最小二乘法进行参数估计主要有两大任务，一是结构参数的估计，即得出 和 的估计值；二是分布参数的估计，即估计随机误差项的分布。,1结构参数的估计,给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和,最小。,方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。,2019年4月20日星期六,32,哈工程经济管理学院,记,上述参数估计量可以写成：,称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。,2分布参数的估计,参数估计的第二项任务是估计随机误差项的分布参数，随机误差项服从期望为0的正态分布。 记 为第i个样本观测点的残差，即被解释变量的观测值与估计值之差。则随机误差项方差的估计量为： 具体证明过程见课本。,3例2.1 消费与收入模型,消费量是由什么决定的？在现实生活中，影响各个家户消费的因素很多，如收入水平、商品价格水平、利率水平、收入分配状况、消费者偏好、家庭财产状况、消费信贷状况、消费者年龄构成、社会保障制度、风俗习惯等等。在凯恩斯理论中，他认为这些因素中又决定意义的是家户收入。为此，可从诸多因素中抽出这单一因素单独分析。,经调查某地区一部分家庭的消费与收入状况，得到一组样本数（ 表示消费， 表示可支配收入，单位：元）。试估计该地区消费与收入的一元线性回归模型。,以为横坐标、为纵坐标，画出散点图。由散点图可知该地区消费与收入存在线性相关关系。,表2.1 参数估计的计算表,2.3.3 一元线性回归模型估计量的性质,当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。,一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性： （1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数； （2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值； （3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。,这三个准则也称作估计量的小样本性质。 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE）。,高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。,证：,易知,故,同样地，容易得出,（2）证明最小方差性,其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数 则容易证明,2.4 多元线性回归模型的估计,2.4.1 多元线性回归模型的普通最小二乘估计方法 2.4.2 多元线性回归模型的结构参数的修正 2.4.3 多元线性回归模型估计量的性质,2.4.1 多元线性回归模型的普通最小二乘估计,1、结构参数与分布参数的估计,具体推导过程见课本。,例2.2 校内水果超市销售额预测,为了方便校园师生的日常生活，哈尔滨工程大学学生在大学生创业基金的资助下，在启航学生活动中心开设了一家水果超市。为了提高水果店的服务质量和销售水平，选取了店内客流量、水果品种数量两个主要因素作为解释变量对水果店的日常销售进行经济学模拟。为此，在九月份开学的第一周里杨立乾对自己的水果店展开了数据收集工作，经过五天的观察他得到了如下观测数据：,表2.2 水果超市销售额调查,列出X、Y矩阵,2.4.2 多元线性回归模型的结构参数的修正,进一步，可将多元线性回归模型的结构参数表示为离差形式。,2.4.3 多元线性回归模型估计量的性质,对于多元线性回归模型最小二乘估计量，线性性、无偏性、有效性以及一致性是评价其性质的标准。,1、线性性,2、无偏性,证：,于是：,3、有效性,证明略。,若,是,B,的任一线性无偏估计量，则有,4、一致性,一般来说，参数估计量完全达到无偏性、有效性这两个标准是比较困难的。通常情况下需要关注的是样本容量增大时，这两个标准是否满足，于是提出了一致性，即当样本容量增大时，估计量依概率具有,2.5 极大似然估计,2.5.1 一元线性回归模型的极大似然估计 2.5.2 多元线性回归模型的极大似然估计,最大或然法(Maximum Likelihood,简称ML)，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。 基本原理：对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。,2.5.1 一元线性回归模型的极大似然估计,在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：,随机抽取n组样本观测值,假如模型的参数估计量已经求得，为,那么Yi服从如下的正态分布：,于是，y的概率函数为,由于L的极大化与 的极大化是等价的，所以取对数似然函数为,对 求极大值，等价于对 取极小值，即,即，只有当 、 取 、 时，抽取n组样本观测值 的概率最大。换句话说，只有 、 取上述估计值时，模型才能最好地拟合样本观测值。从上述参数估计结果看，对于一元线性回归模型，参数的ML估计量与OLS估计量是相同的。,2.5.2 多元线性回归模型的极大似然估计,Y的所有n组样本观测值的联合概率为：,这就是变量Y的似然函数。,对似然函数L求极大值，就可以得到一组 ，使得取得n组样本观测值的联合概率为最大。显然，L达最大，即是,达最小，对该式取极小值，得到,是与OLS估计量等价的估计量。 对于多元线性回归模型而言，由于ML估计量与OLS估计量等价，所以它们也具备无偏性、有效性和一致性。,