1,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,2.5 高阶导数,2,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,3,二、 高阶导数求法举例,例,解,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,4,例,解,5,例,解,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),6,例,解,同理可得,例. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,8,例1. 设 y=ax2+bx+c, 求y .,例2.,一般地，n次多项式的(n+1)阶导数为常数零。,练习,9,2. 高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,10,例.,解:,11,例,解,12,3.间接法:,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式, 通过四则,运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.,解:,例,4 隐函数的高阶导数,14,15,16,5 参数方程高阶导数,17,18,19,例 设 是 的反函数， 且 存在，证明： （1） （2）,补充 反函数高阶导,22,设函数u(x), v(x)在点x处有n阶导数, 则有:,证明: n=1时, (uv)=uv+uv, 结论成立,假设n=m时结论成立, 即有:,下面证明: 当n=m+1时, 结论仍成立。,23,证:,思考与练习,1. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,(3),提示: 令,原式,原式,2. (填空题)(1)设,则,提示:,各项均含因子 ( x 2 ),(2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,解:,设,求,其中 f 二阶可导.,备用题,