单调性与最大（小）值一、要求掌握的知识点（1）理解函数单调性的概念。（2）学会运用从图形刻画（图形走势）、定性刻画（函数值随自变量变化而怎样变化）、定量刻画（单调性的定义）三方面理解函数的单调性，并能用单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性。（3）学会根据函数图象或表达式求一些简单函数的最大、最小值。二、教学过程（一）、创设情景，提出问题：观察课本P21图211某市一天24小时内的气温变化图，思考以下问题：1、从气温变化图上看，一天中从4点到14点的气温变化情况怎样？2、这一天中几点的气温最低，最低是多少度？几点气温最高，最高是多少度？3、这一天中从4点到14点，随着时间的增大气温逐渐怎样变化？用数学语言如何刻画“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？（二）、建构数学1、一般地，设函数=() 的定义域为A，区间。如果对于区间I内的 两个值1，2，当1 2时，都有(1) (2)，那么就说=()在区间I上是单调增函数，I称为=()的单调增区间。2、一般地，设函数=()的定义域为A，区间。如果对于区间I内的 两个值1，2，当1 2时，都有(1) (2)，那么就说=()在区间I上是单调减函数，I称为=()的单调减区间。3、如果函数=()在区间I上是单调 函数或单调 函数，那么就说函数=()在区间I上具有 性。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。4、讲解例题：例1 画出下列函数图象，并写出单调区间： (1) 2+2 (2) （0）解： （1）函数图象如图，单调增区间为 ，单调减区间为 。（2）函数图象如图，单调增区间为 ，单调减区间为 。例2 求证：函数() 在区间（，0）上是单调减函数。（用定义证明）证明：说明：证明函数在区间I上的单调性分三步证：设任意1，2I，且12，作差(1)(2)，变形，判断正负，得出结论。5、一般地，设=()的定义域为A。如果存在定值0A，使得对于 A，有 恒成立，那么称(0)为=()的最大值，记为max=(0)；如果存在定值0A，使得对于 A，有 恒成立，那么称(0)为=()的最小值，记为min=(0)；6、讲解例题：例3 如下图为函数=()，4，7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。 解：函数=()当= 时取得最大值，即max= ；当= 时取得最小值，min= 。 函数的单调增区间为 ，单调减区间为 。例4 求出下列函数的最大值或最小值： (1) -2 2； (2) ，1，3。解法一：观察例1所作的图形得：（1）当= 时，函数取得最大值，即max= ；（2）当= 时，函数取得最大值，即max= ；当= 时，函数取得最小值，min= 。解法二：（1）三、课堂练习：1、下图分别为函数=()和= ()的图象，试写出函数=()和= ()的单调区间。（1）单调增区间为： ，单调减区间为： ；（2）单调增区间为： ，单调减区间为： 。 （1） （2）2、求证：函数()21是定义域上的单调减函数。（用定义证明）3、函数在区间（2，1上有最大值吗？有最小值吗？4、课本P37第7题。四、小结： 本节我们学习了单调函数，单调区间及函数的最大值、最小值。五、课外作业： 1、先画函数()2 1的图象，然后观察图象，写出该函数的单调区间。2、先画函数()2 2的图象，然后求该函数在0，10上的最大值和最小值。3、证明：函数()2 2在（，1 ）上是单调增函数。（用定义证明）5