24.2.2 直线和圆的位置关系,直线和圆相交,d r,d r,直线和圆相切,直线和圆相离,d r,O,相交,相切,相离,d,d,=,知识回顾,1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？,问题,请在O上任意取一点A，连接OA。过点A作直线 lOA。思考一下问题：,1. 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? 2. 二者位置有什么关系？为什么？ 3. 由此你发现了什么？,l,发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A 则:直线l与O相切,这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法切线的判定定理,直线与圆相切的判定定理：,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。,对定理的理解：,切线需满足两条： 经过半径外端； 垂直于这条半径,O,r,l,A,如图所示 OA是半径， l OA于A l是O的切线。,定理的几何符号表达：,1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？,问题,判 断,1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）,问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?,两个条件,缺一不可,切线的判定方法有三种： 直线与圆有唯一公共点； 直线到圆心的距离等于该圆的半径； 切线的判定定理即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,判定直线与圆相切有哪些方法？,例1,已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是O的切线。,O,B,A,C,分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可。,证明：连结OC(如图)。 OAB中， OAOB , CACB, ABOC。 OC是O的半径 AB是O的切线。,例2,已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为半径作O。 求证：O与AC相切。,O,A,B,C,D,证明：过O作OEAC于E。 AO平分BAC，ODAB OEOD 即圆心O到AC的距离 d = r AC是O切线。,例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。,归纳分析,.,O,A,L,思考,将上页思考中的问题 反过来,如果L是O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢?,一定垂直,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,1、直线和圆相切的判定定理；,课堂小结,直线与圆相切的判定定理：,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。,对定理的理解：,切线需满足两条： 经过半径外端； 垂直于这条半径,1、直线和圆相切的判定定理； 2、直线和圆相切的判定定理定理的 几何符号表达；,课堂小结,O,r,l,A,如图所示 OA是半径， l OA于A l是O的切线。,定理的几何符号表达：,切线的判定方法有三种： 直线与圆有唯一公共点； 直线到圆心的距离等于该圆的半径； 切线的判定定理即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,判定直线与圆相切有哪些方法？,1、直线和圆相切的判定定理； 2、直线和圆相切的判定定理定理的 几何符号表达； 3、判定直线与圆相切有哪些方法； 4、切线的性质定理。,课堂小结,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,1、直线和圆相切的判定定理； 2、直线和圆相切的判定定理定理的 几何符号表达； 3、判定直线与圆相切有哪些方法； 4、切线的性质定理。,课堂小结,1.如图,AB是O的直径,ABT=45,AT=AB,求证:AT是O的切线.,练 习,证明：ABT=45, AT = AB T=90 即AT是O的切线,如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30O方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些城市要做抗台风准备？,拓展应用,P,台风路经范围如图所示,