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第二章 二次函数,2.2 二次函数的图象与性质(第3课时),说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:,请说出二次函数y=ax+c与y=ax的平移关系。,y=ax2,当c0时,向上平移c个单位,当c0时,向下平移 个单位,(1)y=ax2 (2)y=ax2+c,向上,直线x=0,( 0,0 ),直线x=0,向上,( 0,3 ),函数 的图象的顶点坐是 ; 开口方向是 ;最 值是 . 函数y=-2x2+3的图象可由函数 的图象向_平移 个单位得到. 把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数 _的图象.,(0,3),小,向上,3,y=-2x2,上,3,y=-3x2-2,完成下表:,我们已经认识了二次函数y=2x2的图象,那么二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系?,做一做 画二次函数y=2(x-1)2的图象。,32 18 8 2 0 2 8 18 32,50 32 18 8 2 0 2 8 18,观察上表,你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系?,(2)在图中,画出y=2(x-1)2的图象,你是怎么画的?与同伴进行交流.,y=2(x-1)2,二次函数y=2(x-1)和y=2x的图象有什么的关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?,议一议,二次函数y=2(x-1)和y=2x的图象形状相同,开口方向也相同,但对称轴和顶点坐标不同。二次函数y=2(x-1)的图象开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标分别是(1,0)。,二次函数y=2(x-1)和y=2x的图象有什么的关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?,议一议,实际上,将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度,就可以得到二次函数y=2(x-1)的图象.,当x1时,y的值随x值的增大而增大;当x1时,y的值随x值的增大而减小.,类似的,你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x的图象有什么的关系吗?,二次函数y=2(x+1)和y=2x的图象形状相同,开口方向也相同,但对称轴和顶点坐标不同。二次函数y=2(x+1)的图象开口向上,对称轴是直线x=-1,顶点坐标分别是(-1,0)。,y=2(x+1),类似的,你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x的图象有什么的关系吗?,实际上,将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,就可以得到二次函数y=2(x+1)的图象.,当x-1时,y的值随x值的增大而增大;当x-1时,y的值随x值的增大而减小.,二次函数y=2x2, y=2(x-1),y=2(x+1)2的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同。将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度,就得到函数y=2(x-1)的图象;将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,就得到函数y=2(x+1)的图象.,猜一猜,二次函数y=-2(x-1),y=-2(x+1)2和y=-2x2的图象的位置和形状.,二次函数y=-2(x-1)和y=-2x的图象形状相同,开口方向也相同,但对称轴和顶点坐标不同。二次函数y=-2(x-1)的图象开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标分别是(1,0)。,实际上,将函数y=-2x2的图象向右平移1个单位长度,就可以得到二次函数y=-2(x-1)的图象.,y=-2x,y=-2(x-1),y=-2(x+1)2,y=-2x,y=-2(x-1),当x1时,y的值随x值的增大而减小;当x1时,y的值随x值的增大而增大.,二次函数y=-2(x+1)和y=-2x的图象形状相同,开口方向也相同,但对称轴和顶点坐标不同。二次函数y=-2(x+1)的图象开口向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标分别是(-1,0)。,实际上,将函数y=-2x2的图象向左平移1个单位长度,就可以得到二次函数y=-2(x+1)的图象.,y=-2(x+1)2,y=-2x,y=-2(x-1),y=-2(x+1)2,当x-1时,y的值随x值的增大而减小;当x-1时,y的值随x值的增大而增大.,请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.,1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.,二次函数y=a(x-h)2的性质,2.当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展; 当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,x=h,x=h,二次函数y=a(x-h)2的性质,x=h,x=h,3.当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0). 当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=a(x-h)2的性质,x=h,x=h,4. a的绝对值越大,开口越小,a的绝对值越小,开口越大.,二次函数y=a(x-h)2 与y=ax2的图象形状 相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了h绝对值个单位(当h0时,向右移h绝对值个单位;当h0时,向左移h绝对值个单位)得到的.,二次函数y=a(x-h)2的性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2 (a0),y=a(x-h)2 (a0),(h,0),(h,0),直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为0.,当x=h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,开口大小,想一想,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2,的图象形状相同,开口方向也相同,但对称轴和 顶点坐标不同。二次函数 的图象开 口向上,对称轴是直线x=-3,顶点坐标分别是,当x-3时,y的值随x值的增大而增大;当x-3时,y的值随x值的增大而减小.,在同一坐标系中作出二次函数y=-2x,y=-2x2+2,y=-2(x-1)2,y=-2(x-1)2+2,y图象。你是怎样做的?与同伴进行交流。,二次函数y=-2(x-1)2+2和y=-2x, y=-2x2+2,y=-2(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?,y=-2x,y=-2(x-1),y=-2x2+2,y=-2(x-1)2+2,将二次函数y=-2x2的图象向右平移1个单位长度可以得到函数y=-2(x-1)的图象.,将二次函数y=-2x2的图象向上平移2个单位长度可以得到函数y=-2x2+2 的图象.,将二次函数y=-2x2的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移2单位长度可以得到函数就可以得到函数y=-2(x-1)2+2的图象。,y=-2(x-1),y=-2x2+2,y=-2(x-1)2+2,二次函数y=-2(x-1)2+2和y=-2x, y=-2x2+2,y=-2(x-1)2的图象形状相同,开口方向相同,开口大小相同。,二次函数y=-2(x-1)2+2图象形状是抛物线,开口方向向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,2),当x1时,y的值随x值的增大而减小;当x1时,y的值随x值的增大而增大.,实际上,将二次函数y=-2x2的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移2单位长度可以得到函数就可以得到函数y=-2(x-1)2+2的图象。,请你总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),(-h,k),(-h,k),直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,议一议: 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系?,一般地,平移二次函数y=ax的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k的图象。,因此,二次函数y=a(x-h)+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示:,图象特征,二次函数,a(x-h)2+k,开口方向,对称轴,顶点坐标,向上(a0),向下(a0),直线x=h,(h,k),二次函数y=a(x-h)+k与=ax的关系,y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.,(4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_,练习,(1) 若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是_ (2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2 (3) 将抛物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-1,下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是( ). A.y=(x2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x2)23 D.y=(x+2)23 【解析】选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A,C符合,再根据图象经过点(0,1)知选项C符合.,将抛物线,向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 _.,将抛物线 先向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的表达式为_,或,若把函数y=x的图象用E(x,x)记,函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记,,则 E(x,,)可以由E(x, ),怎样平移得到?( ),A.向上平移个单位 B.向下平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位,选D.,对于二次函数y=-3(x+2)2,(1)它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次函数y=-3(x+2)2与二次函数y=-3x2的图象形状相同,开口方向都向下,都是轴对称图形,但对称轴和顶点坐标不同。函数y=-3(x+2)2的图象的对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0)。将函数y=-3x2的图象向左平移2个单位长度,就可以得到函数y=-3(x+2)2的图象。,对于二次函数y=-3(x+2)2,(2)当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?,当x -2时,y的值随x值的增大而增大;当x -2时,y的值随x值的增大而减小。,1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,
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