课程简介,教材 数值分析李庆杨，王能超，易大义，清华大学出版社(第5版)，北京：2008 教学参考书：封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，2003 学时：48学时（理论40+上机8） 考试方式： 笔试（70分闭卷）+实验（30分） 任课教师：熊 焱（辽宁科技大学 理学院 ）,第1章数值分析与 科学计算引论,内容提要： 1.1 数值分析研究对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害,1.1 数值分析研究对象与特点 一、数值分析研究对象 计算机解决科学计算问题时经历的过程,实际问题,模型设计,算法设计,问题的解,上机计算,程序设计,求,方程求根,牛顿法,程序设计,解,上机计算,实例,二、计算数学与科学计算 计算数学是各种计算性科学的共性基础，兼有基础性、应用性和边缘性的数学科学。科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的科学，也是新的计算性交叉学科的统称，如计算物理、计算化学、计算经济学等。 数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。,三、数值分析的特点 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。,四、数值分析的学习方法 初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。 注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。为掌握本课的内容，还应做一些理论分析和计算练习。,1.2 数值计算的误差,一、误差的来源与分类 在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差。 1、模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差。 2、观测误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。而观测过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。,3、截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。,4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参 数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入误差。,误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改。 二、绝对误差、相对误差与有效数字 1、绝对误差与绝对误差限,误差是有量纲的量，量纲同 x，它可正可负。 误差一般无法准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一个上限，这个上界称为近似值 x* 的误差限，记为*。,2、相对误差与相对误差限 误差不能完全刻画近似值的精度。,定义3 如果近似值 x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x *的有效数字.,3、有效数字,再如：=3.14159265 则 3.14 和 3.1416 分别有 3 位和 5 位 有效数字。而 3.143 相对于也只能有 3 位有效数字。在更 多的情况，我们不知道准确值 x。,如果我们认为计算结果各数位可靠，将它四舍五入到某一位，这时从这一位起到前面第一个非零数字共 n位。它与计算结果之差必小于该位的半个单位。我们习惯上说将计算结果保留 n 位有效数字。 4、绝对误差，相对误差与有效数字的关系 绝对误差与相对误差的关系由两者定义可知。 绝对误差与有效数字的关系：绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。,有效数字与相对误差限的关系：,定理说明有效数位越多，相对误差限越小。定理也给出了 相对误差限的求法。,三、数值运算的误差估计 1、四则运算,一、避免误差危害的若干原则 1、要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算x/y， 若0|y|x|，则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避 免。,2、要避免两相近数相减 在数值中两相近数相减有效数字会严重损失。例如，x=532.65，y=532.52 都具有五位有效数字，但 x- y=0.13 只有两位有效数字。通过改变算法可以避免两相近数相减。,1.3 避免误差危害,3、要防止“大数”吃掉小数 数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性。 如用六位浮点数计算某市的工业总产值，原始数据是各企业的工业产值，当加法进行到一定程度，部分和超过100亿元 （0.11011），再加产值不足10万元的小企业产值，将再也加不进去。而这部分企业可能为数不少，合计产值相当大.这种情况应将小数先分别加成大数，然后相加，结果才比较正确。这个例子告诉我们，在计算机数系中，加法的交换律和结合律可能不成立，这是在大规模数据处理时应注意的问题。,4、注意简化计算步骤，减少运算次数 减少算术运算的次数不但可计算机的计算时间，还能减少误差的积累效应。使参加运算的数字精度应尽量保持一致，否则那些较高精度的量的精度没有太大意义。,误差及算法,误差,算法,数值稳定性概念,算法设计注意要点,分类,度量,传播,舍入误差的产生及定义,截断误差的产生及定义,绝对误差（限）,相对误差（限）,有效数字,三者的联系,一元函数,n元函数,计算函数值问题的条件数,二元算术运算,知 识 结 构 图 一,End!,